Opisać zbiory liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
adriansuper64
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 20 lis 2012, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Opisać zbiory liczb zespolonych

Post autor: adriansuper64 »

\(\displaystyle{ a) 0 \le \arg\left( z-i\right) \le \frac{ \pi }{4}

b)0 \le \arg\left( z^{2} \right) \le \frac{ \pi }{3}}\)


nie wiem jak zabrać się do tego typu nierówności nie wiem co zrobić z tym argumentem, niepotrzebuje koniecznie rysunku tylko wskazówki
Ostatnio zmieniony 19 cze 2013, o 13:14 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. \arg
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Opisać zbiory liczb zespolonych

Post autor: ares41 »

Jeśli chodzi o zapis to bardziej \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}}\) niż \(\displaystyle{ \mathrm{arg}}\).

Jeśli \(\displaystyle{ \mathrm{Arg} \left( z-i \right) \in \left(0, \frac{\pi}{4} \right\rangle}\) to \(\displaystyle{ \Re \left( z-i \right) >0}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ 0=\tg0<\tg \left[ \mathrm{Arg} \left( z-i \right) \right] = \frac{\Im \left( z-i \right) }{\Re \left( z-i \right) } \le \tg \frac{\pi}{4} =1}\),
ponieważ tangens jest na tym przedziale rosnący.
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\), gdzie \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in\RR^2}\)
Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ 0< \frac{\Im \left( x+yi-i \right) }{\Re \left( x+yi-i \right) } \le 1 \\
0< \frac{y-1}{x} \le 1}\)
,
przy założeniu \(\displaystyle{ x=\Re \left( z-i \right) >0}\)
Ostatecznie mamy tutaj \(\displaystyle{ \begin{cases} x>0\\ 1<y \le x+1 \end{cases}}\)

Wystarczy jeszcze tylko sprawdzić co dzieje się dla \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z-i)=0}\)
adriansuper64
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 20 lis 2012, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Opisać zbiory liczb zespolonych

Post autor: adriansuper64 »

skąd wziąłeś tg?
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Opisać zbiory liczb zespolonych

Post autor: ares41 »

Jeżeli \(\displaystyle{ 0<t \le \frac{\pi}{4}}\)
to
\(\displaystyle{ \tg 0<\tg t \le \tg\frac{\pi}{4}}\)
Użyłem go, żeby dobrze się liczyło.

Skorzystałem z faktu, że \(\displaystyle{ \tg(\mathrm{Arg} z)= \frac{\Im{z}}{\Re{z}}}\)
ODPOWIEDZ