\(\displaystyle{ a) 0 \le \arg\left( z-i\right) \le \frac{ \pi }{4}
b)0 \le \arg\left( z^{2} \right) \le \frac{ \pi }{3}}\)
nie wiem jak zabrać się do tego typu nierówności nie wiem co zrobić z tym argumentem, niepotrzebuje koniecznie rysunku tylko wskazówki
Opisać zbiory liczb zespolonych
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 20 lis 2012, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
Opisać zbiory liczb zespolonych
Ostatnio zmieniony 19 cze 2013, o 13:14 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. \arg
Powód: Poprawa wiadomości. \arg
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Opisać zbiory liczb zespolonych
Jeśli chodzi o zapis to bardziej \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}}\) niż \(\displaystyle{ \mathrm{arg}}\).
Jeśli \(\displaystyle{ \mathrm{Arg} \left( z-i \right) \in \left(0, \frac{\pi}{4} \right\rangle}\) to \(\displaystyle{ \Re \left( z-i \right) >0}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ 0=\tg0<\tg \left[ \mathrm{Arg} \left( z-i \right) \right] = \frac{\Im \left( z-i \right) }{\Re \left( z-i \right) } \le \tg \frac{\pi}{4} =1}\),
ponieważ tangens jest na tym przedziale rosnący.
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\), gdzie \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in\RR^2}\)
Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ 0< \frac{\Im \left( x+yi-i \right) }{\Re \left( x+yi-i \right) } \le 1 \\
0< \frac{y-1}{x} \le 1}\),
przy założeniu \(\displaystyle{ x=\Re \left( z-i \right) >0}\)
Ostatecznie mamy tutaj \(\displaystyle{ \begin{cases} x>0\\ 1<y \le x+1 \end{cases}}\)
Wystarczy jeszcze tylko sprawdzić co dzieje się dla \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z-i)=0}\)
Jeśli \(\displaystyle{ \mathrm{Arg} \left( z-i \right) \in \left(0, \frac{\pi}{4} \right\rangle}\) to \(\displaystyle{ \Re \left( z-i \right) >0}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ 0=\tg0<\tg \left[ \mathrm{Arg} \left( z-i \right) \right] = \frac{\Im \left( z-i \right) }{\Re \left( z-i \right) } \le \tg \frac{\pi}{4} =1}\),
ponieważ tangens jest na tym przedziale rosnący.
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\), gdzie \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in\RR^2}\)
Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ 0< \frac{\Im \left( x+yi-i \right) }{\Re \left( x+yi-i \right) } \le 1 \\
0< \frac{y-1}{x} \le 1}\),
przy założeniu \(\displaystyle{ x=\Re \left( z-i \right) >0}\)
Ostatecznie mamy tutaj \(\displaystyle{ \begin{cases} x>0\\ 1<y \le x+1 \end{cases}}\)
Wystarczy jeszcze tylko sprawdzić co dzieje się dla \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z-i)=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 20 lis 2012, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Opisać zbiory liczb zespolonych
Jeżeli \(\displaystyle{ 0<t \le \frac{\pi}{4}}\)
to
\(\displaystyle{ \tg 0<\tg t \le \tg\frac{\pi}{4}}\)
Użyłem go, żeby dobrze się liczyło.
Skorzystałem z faktu, że \(\displaystyle{ \tg(\mathrm{Arg} z)= \frac{\Im{z}}{\Re{z}}}\)
to
\(\displaystyle{ \tg 0<\tg t \le \tg\frac{\pi}{4}}\)
Użyłem go, żeby dobrze się liczyło.
Skorzystałem z faktu, że \(\displaystyle{ \tg(\mathrm{Arg} z)= \frac{\Im{z}}{\Re{z}}}\)