Zespolone równanie
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Zespolone równanie
Z powyższego linku masz
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} = 0 \vee \left| z\right| ^{3} \left( \cos \left( 5 \alpha \right) + i\sin \left( 5 \alpha \right) \right) = 1.}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} = 0}\) daje punkt (0,0)na płaszczyźnie Gaussa
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{3} \left( \cos \left( 5 \alpha \right) + i\sin \left( 5 \alpha \right) \right) = 1}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{3} \cos \left( 5 \alpha \right) = 1 \wedge\left| z\right| ^{3}i\sin \left( 5 \alpha \right) = 0\\
\cos \left( 5 \alpha \right) = \frac{1}{\left| z\right| ^{3}} \wedge \sin \left( 5 \alpha \right) = 0}\)
Gdy\(\displaystyle{ \sin \left( 5 \alpha \right) =0}\) to\(\displaystyle{ \cos \left( 5 \alpha \right) =1 \vee \cos \left( 5 \alpha \right) =-1}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{\left| z\right| ^{3}} =1 \vee \frac{1}{\left| z\right| ^{3}} =-1}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{3} =1 \vee \left| z\right| ^{3} =-1\\
\left| z\right| =1 \vee \left| z\right| =-1}\)
Drugie równanie jest sprzeczne.
Zostaje
\(\displaystyle{ \sin \left( 5 \alpha \right) =0 \wedge \cos \left( 5 \alpha \right) =1 \wedge \left| z\right| =1 \\
5 \alpha=k2 \pi \wedge \left| z\right| =1 \\
\alpha=k \frac{ 2 \pi}{5} \wedge \left| z\right| =1}\)
Dobierając dla \(\displaystyle{ k}\) wartości \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4}\) otrzymujesz pięć punktów na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 1}\).
Ostatecznie sumując rozwiązania masz punkty:
\(\displaystyle{ \left( 0,i0 \right) , \left( 1,i0 \right) , \left( \cos \frac{ \pi }{5},i \sin \frac{ \pi }{5} \right) , \left( \cos \frac{ 2\pi }{5}, i\sin \frac{ 2\pi }{5} \right) , \left( \cos \frac{ 3\pi }{5}, i\sin \frac{ 3\pi }{5} \right) , \left( \cos \frac{4 \pi }{5}, i\sin \frac{4 \pi }{5} \right)}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} = 0 \vee \left| z\right| ^{3} \left( \cos \left( 5 \alpha \right) + i\sin \left( 5 \alpha \right) \right) = 1.}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} = 0}\) daje punkt (0,0)na płaszczyźnie Gaussa
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{3} \left( \cos \left( 5 \alpha \right) + i\sin \left( 5 \alpha \right) \right) = 1}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{3} \cos \left( 5 \alpha \right) = 1 \wedge\left| z\right| ^{3}i\sin \left( 5 \alpha \right) = 0\\
\cos \left( 5 \alpha \right) = \frac{1}{\left| z\right| ^{3}} \wedge \sin \left( 5 \alpha \right) = 0}\)
Gdy\(\displaystyle{ \sin \left( 5 \alpha \right) =0}\) to\(\displaystyle{ \cos \left( 5 \alpha \right) =1 \vee \cos \left( 5 \alpha \right) =-1}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{\left| z\right| ^{3}} =1 \vee \frac{1}{\left| z\right| ^{3}} =-1}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{3} =1 \vee \left| z\right| ^{3} =-1\\
\left| z\right| =1 \vee \left| z\right| =-1}\)
Drugie równanie jest sprzeczne.
Zostaje
\(\displaystyle{ \sin \left( 5 \alpha \right) =0 \wedge \cos \left( 5 \alpha \right) =1 \wedge \left| z\right| =1 \\
5 \alpha=k2 \pi \wedge \left| z\right| =1 \\
\alpha=k \frac{ 2 \pi}{5} \wedge \left| z\right| =1}\)
Dobierając dla \(\displaystyle{ k}\) wartości \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4}\) otrzymujesz pięć punktów na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 1}\).
Ostatecznie sumując rozwiązania masz punkty:
\(\displaystyle{ \left( 0,i0 \right) , \left( 1,i0 \right) , \left( \cos \frac{ \pi }{5},i \sin \frac{ \pi }{5} \right) , \left( \cos \frac{ 2\pi }{5}, i\sin \frac{ 2\pi }{5} \right) , \left( \cos \frac{ 3\pi }{5}, i\sin \frac{ 3\pi }{5} \right) , \left( \cos \frac{4 \pi }{5}, i\sin \frac{4 \pi }{5} \right)}\)
Ostatnio zmieniony 19 cze 2013, o 12:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy. Poprawa wiadomości.
Powód: Skaluj nawiasy. Poprawa wiadomości.
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Zespolone równanie
To nie jest poprawny zapis.kerajs pisze: Ostatecznie sumując rozwiązania masz punkty:
\(\displaystyle{ \left( 0,i0 \right) , \left( 1,i0 \right) , \left( \cos \frac{ \pi }{5},i \sin \frac{ \pi }{5} \right) , \left( \cos \frac{ 2\pi }{5}, i\sin \frac{ 2\pi }{5} \right) , \left( \cos \frac{ 3\pi }{5}, i\sin \frac{ 3\pi }{5} \right) , \left( \cos \frac{4 \pi }{5}, i\sin \frac{4 \pi }{5} \right)}\)