Równania - liczby zespolone

[xDcichoxD]

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \left( \frac{z-i}{z+i} \right) ^4=1}\)

[yorgin]

Spierwiastkuj od razu stronami.

Uwaga, \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}}\) to nie jest tylko \(\displaystyle{ 1}\).

[xDcichoxD]

Chciałabym wiedzieć czy mi dobrze wyszło:
\(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+i}=1}\)

\(\displaystyle{ i=-i}\) równanie sprzeczne

\(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+i}=-1}\)

\(\displaystyle{ 2a+2bi= 0+0i}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=0\\ b=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+i}=i}\)

\(\displaystyle{ (a+b)+(b-a-1)i=-1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} b=0 \\ a=-1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+i}=-i}\)

\(\displaystyle{ (a-b)+(b+a-1)=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=0 \end{cases}}\)

Czyli
z=0 lub z=1 lub z=-1

[yorgin]

Wszystko się zgadza.

Aczkolwiek nie jest potrzebne zapisywanie \(\displaystyle{ z=a+ib}\), niemniej metoda jest poprawna.