Narysuj wykres

[mCichy13]

Więc mam takie zadanie \(\displaystyle{ \left\{ z \in C : Im( z^{3} ) \le 0\right\}}\)

Użyłem wzoru skróconego mnożenia i wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ 3 x^{2} y \le y^{3}}\)

i tutaj się zaciąłem bo nie mam pojęcia jak narysować to na płaszczyźnie...

[pyzol]

Przejdź na postać trygonometryczną. Będziesz miał nierówność:
\(\displaystyle{ \sin 3\alpha \le 0}\).

[kerajs]

\(\displaystyle{ y^{3}-3 x^{2} y \ge 0}\)
\(\displaystyle{ y(y^{2}-3 x^{2}) \ge 0}\)

Daje to układ dwóch nierówności
\(\displaystyle{ y \ge 0 \wedge y^{2}-3 x^{2} <0}\) oraz
\(\displaystyle{ y<0 \wedge y^{2}-3 x^{2} \ge 0}\)

Z tym pewnie dasz sobie radę.

Co do wskazówki Pyzola, to pewnie napisze alternatywny sposób rozwiązania który ją wykorzystuje.

[pyzol]

\(\displaystyle{ z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)}\)
Ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ z^3=r^3(\cos 3\alpha+i\sin 3\alpha)}\)
Więc należy rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ r^3\sin(3\alpha) \le 0}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ r}\) jest nieujemne, to otrzymujemy wczesniej podaną nierówność.

[mCichy13]

Dzięki wielkie już sobie poradziłem Mógłby ktoś sprawdzić czy zadanie poniżej rozwiązałem poprawnie?

Mamy wielomian

\(\displaystyle{ W(z)= z^{4}+z^{3}+z^{2}+z}\)
\(\displaystyle{ W(z)= z^{3}(z+1)+z(z+1)}\)
\(\displaystyle{ W(z)= (z^{3}+z)(z+1)}\)
\(\displaystyle{ W(z)= z(z^{2}+1)(z+1)}\)
\(\displaystyle{ W(z)= z(z+1)(z-i)(z+i)}\)

Skorzystałem ze wzoru \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} = (a+bi)(a-bi)}\) ale nie jestem pewien czy poprawnie

[kerajs]

OK