Równanie z potęgą.

[GoToSleep]

Witam,
zatrzymałem się na takim zadaniu z liczb zespolonych:
Oblicz \(\displaystyle{ z ^{5} = \left| z\right| ^{2} , z \in C}\)
Skorzystałem ze wzorów na potęgę liczby zespolonej i moduł, dostałem takie wyrażenie:
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{5} (\cos ( n \alpha) + i\sin (n \alpha) ) = \left| z\right| ^{2}}\).
Próbowałem to przenieść na jedną stronę, odpowiednie wyrażenia przyrównań do 0, ale nie wyszło z tego nic, albo nie potrafię zrobić kolejnego kroku. Ostatnia linijka jaką mam to:
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} = 0 \vee \left| z\right| ^{3} (\cos (n \alpha) + i\sin (n \alpha) ) = 1}\).
Chciałem wyliczyć też sinus i cosinus, jednak nie wiem co mam zrobić z "n" (normalnie to by było \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{a}{\left| z\right| }}\) a \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{b}{\left| z\right|}}\).
Proszę podpowiedzieć mi co dalej.
Pozdrawiam

[yorgin]

Zaproponuję inną, według mnie prostszą drogę.

Niech \(\displaystyle{ z=re^{it}}\)

Wtedy równanie ma postać

\(\displaystyle{ r^5 e^{i5t}=r^2}\)

Zatem

\(\displaystyle{ r^5=r^2}\)

oraz (po wyznaczeniu \(\displaystyle{ r}\) i rozważeniu niezerowego)

\(\displaystyle{ e^{i5t}=1}\)

[GoToSleep]

Nic z tej "prostszej drogi" nie rozumiem, nawet nie bardzo wiem jak wywnioskować z niej wynik. Nie miałem na zajęciach takiej postaci, wolałbym, żeby ktoś podjął się wytłumaczenia tego "moim" tokiem rozumowania. Ale i tak dziękuję za odzew.

[yorgin]

To się nazywa postać wykładnicza liczby zespolonej.

Skorzystałem ze wzorów na potęgę liczby zespolonej i moduł, dostałem takie wyrażenie:
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{5} (\cos ( n \alpha) + i\sin (n \alpha) ) = \left| z\right| ^{2}}\).
Próbowałem to przenieść na jedną stronę, odpowiednie wyrażenia przyrównań do 0, ale nie wyszło z tego nic, albo nie potrafię zrobić kolejnego kroku. Ostatnia linijka jaką mam to:
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} = 0 \vee \left| z\right| ^{3} (\cos (n \alpha) + i\sin (n \alpha) ) = 1}\).

Z pierwszej równości wnioskujesz, że \(\displaystyle{ |z|^5=|z|^2}\) skąd \(\displaystyle{ |z|=0\vee |z|=1}\)

Pierwszy wariant jest trywialny, drugi prowadzi do tego, że

\(\displaystyle{ (\cos ( 5 \alpha) + i\sin (5 \alpha) ) =1}\)

Co już trudne być nie powinno, gdyż jest to inaczej zapisane równanie \(\displaystyle{ z^5=1}\).