Potęgowanie liczb zespolonych

[Fisher90]

Witam
Mam do obliczenia \(\displaystyle{ (1+i)^{20}( \sqrt{3}-i) ^{14}}\)
Dla pierwszej liczby (\(\displaystyle{ (1+i)^{20}}\)) mam \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{2}}\) i wartość \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \sin \alpha}\), które sa równe \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\). No i mam dalej \(\displaystyle{ (1+i)^{20}= \sqrt{2} (\cos ( \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4})+i\sin ( \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4}))}\) no i co dalej z tymi wartościami cosinusa i sinusa?

[pyzol]

Skąd ten pierwiastek wewnątrz funkcji sinus i cosinus?

\(\displaystyle{ (1+i)^{20}= \sqrt{2}^{20} (\cos ( 20 \cdot \frac{\pi}{4})+i\sin ( 20\cdot \frac{\pi}{4}))}\)

[Fisher90]

Omg, no tak. Pokręciłem zupełnie wzór Moivre`a.
No to dalej skasuje się \(\displaystyle{ 20\pi}\). Pozostanie \(\displaystyle{ 2 ^{10} (\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4})}\). Teraz jak przekształcę wartości cosinusa i sinusa na wartości liczbowe, to obie będą dodatnie, tzn. \(\displaystyle{ 2 ^{10} (\frac{ \sqrt{2} }{2}+i\frac{ \sqrt{2}}{2})}\)?

[cosinus90]

\(\displaystyle{ 20\pi}\) skasuje się? W jaki sposób i skąd je wziąłeś?
Zwyczajnie pomnóż przez argument sinusa i cosinusa i dostaniesz kąt \(\displaystyle{ 5\pi}\) wewnątrz.

[Fisher90]

Fakt, trochę się pospieszyłem.
no to mam:
\(\displaystyle{ (2 ^{ \frac{1}{2} } ) ^{20} (\cos 5\pi + i \sin 5\pi)=}\)
\(\displaystyle{ =2 ^{10} (\cos 0+i \sin0)=}\)
\(\displaystyle{ =2 ^{10}(1+i0)=}\)
\(\displaystyle{ =2 ^{10}}\)
Dobrze mam do tego momentu?

[cosinus90]

Nie, bo argumentu \(\displaystyle{ 5\pi}\) nie wolno zredukować do zera. Zredukuj o wielokrotność \(\displaystyle{ 2\pi}\).

[Fisher90]

No to w takim razie:
\(\displaystyle{ (2^{\frac{1}{2}})^{20}(\cos5\pi+i\sin5\pi)=}\)
\(\displaystyle{ =2^{10}(\cos \pi + i \sin \pi)=}\)
\(\displaystyle{ =2^{10}(1+i0)=}\)
\(\displaystyle{ =2^{10}}\)
Teraz powinno być dobrze. Zgadza się?

[cosinus90]

\(\displaystyle{ \cos\pi \neq 1}\). Funkcje trygonometryczne się kłaniają.

[Fisher90]

W poprzednim moim poście napisałem \(\displaystyle{ \cos \pi =1}\), a pewnie powinno być \(\displaystyle{ \cos \pi=-1}\)? Zatem:
\(\displaystyle{ =2^{10}(\cos \pi + i \sin \pi)=}\)
\(\displaystyle{ =2^{10}(-1+i0)=}\)
\(\displaystyle{ =-2^{10}}\)
Ok?

[cosinus90]

Tak, miało być \(\displaystyle{ 1}\), przepraszam. Już wyedytowałem.
Owszem, teraz jest poprawnie.

[Fisher90]

To teraz druga liczba zespolona:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}-i) ^{14}}\)
\(\displaystyle{ |z|=2}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin \beta= \frac{-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \beta = \frac{11}{6}\pi}\)
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}-i) ^{14}=}\)
\(\displaystyle{ =2 ^{14}(\cos (14 \cdot \frac{11}{6}\pi)+i \sin (14 \cdot \frac{11}{6}\pi))=}\)
\(\displaystyle{ =2 ^{14}(\cos \frac{77}{3} \pi+i \sin \frac{77}{3} \pi)=}\)
\(\displaystyle{ =2 ^{14}(\cos(2 \pi - \frac{5}{3} \pi) + i \sin (2 \pi - \frac{5}{3} \pi))=}\)
\(\displaystyle{ =2 ^{14}(\cos \frac{\pi}{3} -i \sin \frac{\pi}{3})=}\)
\(\displaystyle{ =2 ^{14}( \frac{1}{2} -i \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} )=}\)
\(\displaystyle{ =2 ^{13}(1-\sqrt{3} \cdot i)}\)

Zatem po przemnożeniu obu liczb zespolonych mam wynik w postaci:
\(\displaystyle{ =-2 ^{23}(1-\sqrt{3} \cdot i)}\)

Dobrze wykonane jest zadanie?

[cosinus90]

Prawie dobrze. Ale na końcu źle redukujesz kąt. Co prawda dla cosinusa jako funkcji parzystej nie ma to znaczenia, ale dla sinusa już tak. Powinien być przeciwny znak przy nim, bo przecież
\(\displaystyle{ \frac{5}{3}\pi \neq 2\pi - \frac{5}{3}\pi}\)

[Fisher90]

Po poprawie:
\(\displaystyle{ =2 ^{14}(\cos(2 \pi - \frac{\pi}{3} ) + i \sin (2 \pi - \frac{\pi}{3} ))=}\)
\(\displaystyle{ =2 ^{14}(\cos \frac{\pi}{3} -i \sin \frac{\pi}{3})=}\)
\(\displaystyle{ =2 ^{14}( \frac{1}{2} -i \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} )=}\)
\(\displaystyle{ =2 ^{13}(1-\sqrt{3} \cdot i)}\)

Teraz jest już chyba ok?

[cosinus90]

Tak.