Liczba zespolona problem z wynikiem
Liczba zespolona problem z wynikiem
Witam, dzisiaj mam problem z dojściem do uzyskania prawidłowego wyniku, który jest \(\displaystyle{ 8-8i}\)
Moje obliczenia potęgowania liczby zespolonej \(\displaystyle{ \left( 1+i\right) ^{7}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1+1}= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha=2 \pi - \frac{\pi}{4}= \frac{7}{4}\pi}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos 1 \frac{3}{4}\pi + i \sin 1 \frac{3}{4}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\) gdyż w II ćwiartce sinus jest dodatni a cosinus ujemny
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{6} \cdot \sqrt{2} \left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ z= 2 ^{3} \left( - 1 +i \right)}\)
I wychodzi mi \(\displaystyle{ -8+8i}\) co jest błędne z wynikiem, gdzie popełniam błąd w liczeniu?
Moje obliczenia potęgowania liczby zespolonej \(\displaystyle{ \left( 1+i\right) ^{7}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1+1}= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha=2 \pi - \frac{\pi}{4}= \frac{7}{4}\pi}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos 1 \frac{3}{4}\pi + i \sin 1 \frac{3}{4}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\) gdyż w II ćwiartce sinus jest dodatni a cosinus ujemny
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{6} \cdot \sqrt{2} \left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ z= 2 ^{3} \left( - 1 +i \right)}\)
I wychodzi mi \(\displaystyle{ -8+8i}\) co jest błędne z wynikiem, gdzie popełniam błąd w liczeniu?
Liczba zespolona problem z wynikiem
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1+1}= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos 1 \frac{3}{4}\pi + i \sin 1 \frac{3}{4}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\) gdyż w II ćwiartce sinus jest dodatni a cosinus ujemny
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{6} \cdot \sqrt{2} \left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\)
Sorry, alfa przepisałem, z innego zadania, ale to nic nie zmienia w moich obliczeniach
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos 1 \frac{3}{4}\pi + i \sin 1 \frac{3}{4}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\) gdyż w II ćwiartce sinus jest dodatni a cosinus ujemny
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{6} \cdot \sqrt{2} \left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\)
Sorry, alfa przepisałem, z innego zadania, ale to nic nie zmienia w moich obliczeniach
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Liczba zespolona problem z wynikiem
Źle stosujesz wzory redukcyjne. Choć w tym wypadku nie problem zaznaczyć ten kąt na układzie współrzędnych, zobaczysz, że leży w czwartej ćwiartce i pokrywa się z półprostą \(\displaystyle{ y=-x}\).
Liczba zespolona problem z wynikiem
Czyli moje rozwiązanie jest błędne? w którym miejscu dokładnie robię błąd
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Liczba zespolona problem z wynikiem
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) \right)\\
z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) \right)}\)
Ze wzorów masz:
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{7}{4}\pi \right)=\cos \frac{\pi}{4}}\)
z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) \right)}\)
Ze wzorów masz:
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{7}{4}\pi \right)=\cos \frac{\pi}{4}}\)