Liczba zespolona problem z wynikiem

[braders2]

Witam, dzisiaj mam problem z dojściem do uzyskania prawidłowego wyniku, który jest \(\displaystyle{ 8-8i}\)
Moje obliczenia potęgowania liczby zespolonej \(\displaystyle{ \left( 1+i\right) ^{7}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1+1}= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha=2 \pi - \frac{\pi}{4}= \frac{7}{4}\pi}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos 1 \frac{3}{4}\pi + i \sin 1 \frac{3}{4}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\) gdyż w II ćwiartce sinus jest dodatni a cosinus ujemny
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{6} \cdot \sqrt{2} \left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ z= 2 ^{3} \left( - 1 +i \right)}\)
I wychodzi mi \(\displaystyle{ -8+8i}\) co jest błędne z wynikiem, gdzie popełniam błąd w liczeniu?

[pyzol]

\(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{4}}\)

[braders2]

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1+1}= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos 1 \frac{3}{4}\pi + i \sin 1 \frac{3}{4}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\) gdyż w II ćwiartce sinus jest dodatni a cosinus ujemny
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{6} \cdot \sqrt{2} \left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\)

Sorry, alfa przepisałem, z innego zadania, ale to nic nie zmienia w moich obliczeniach

[pyzol]

Źle stosujesz wzory redukcyjne. Choć w tym wypadku nie problem zaznaczyć ten kąt na układzie współrzędnych, zobaczysz, że leży w czwartej ćwiartce i pokrywa się z półprostą \(\displaystyle{ y=-x}\).

[braders2]

Czyli moje rozwiązanie jest błędne? w którym miejscu dokładnie robię błąd

[pyzol]

\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi + \frac{3}{4} \pi \right) \right)\\
z= \sqrt{2} ^{7}\left( \cos \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) + i \sin \left( \pi - \frac{1}{4} \pi \right) \right)}\)
Ze wzorów masz:
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{7}{4}\pi \right)=\cos \frac{\pi}{4}}\)

[braders2]

Ok dzięki za pomoc i wskazanie błędu taki głupi błąd

[pyzol]

Z sinusem oczywiście też masz źle.

[braders2]

Teraz jak mi podpowiedziałeś to jest już wszystko ok Pozdrawiam