Trudna potęga liczby zespolonej

[braders2]

Witam serdecznie, mam problem z potęgowaniem liczby zespolonej \(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3}+i }{1-i} \right) ^{30}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left( \sqrt{3}+i \right)\left( i+1\right) }{\left( 1-i\right)\left( 1+i\right) }= \frac{ \sqrt{3}-1+ \sqrt{3} +i }{2}= \frac{ \sqrt{3} -1}{2}+ \frac{\left( \sqrt{3}+1 \right)i}{2}}\)

Moduł \(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( \frac{2- \sqrt{3} }{2} \right)^{2} + \left( \frac{2+ \sqrt{3} }{2} \right)^{2}= \sqrt{2}}\)
Następnie mam problem z wyznaczeniem \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) i \(\displaystyle{ \cos \alpha}\)
Mianowicie wychodzi mi coś takiego i nie wiem czy w ogóle dobrze to robię \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
I moje pytanie jaki to będzie kąt alfa?

[cosinus90]

Bez sprawdzania na pewno jest źle, bo istnieje tylko jedna wartość jaką przyjmuje sinus i cosinus jednocześnie i to nie jest ta, która Ci wyszła.
Sprawdź jeszcze raz rachunki. Z tego co widzę, licząc moduł tej liczby źle podstawiasz część rzeczywistą i urojoną.

[braders2]

Może jakaś podpowiedź, bo ja już sam nie wiem jak to zrobić żeby było dobrze, mam ciągle problemy z rachunkami

[cosinus90]

Jaka jest część rzeczywista, a jaka jest część urojona badanej przez Ciebie liczby? Oczywiście mówię na razie o tej pod potęgą.

[braders2]

Część rzeczywista to \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} -1}{2}}\) a urojona \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} +1}{2}}\)

[cosinus90]

No a nie wiedzieć czemu pod pierwiastkiem podstawiasz inne wartości. Podstaw te które teraz napisałeś

[braders2]

Sorry źle napisałem, te wartości pod pierwiastkiem są już spotęgowane, czyli jak usunąć te potęgi to wyjdzie \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

[cosinus90]

Okej. Czyli moduł jest dobrze. To teraz pokaż po kolei, w jaki sposób wyznaczasz sinusa i cosinusa.

[Mariusz M]

Dzielenie też można było wykonać na postaci trygonometrycznej

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3}+i }{1-i} \right) ^{30}=
\left( \frac{2}{ \sqrt{2} }\cos{\left( \frac{\pi}{6}-\left( - \frac{\pi}{4} \right) \right) }+i\sin{\left( \frac{\pi}{6}-\left( - \frac{\pi}{4} \right)\right) } \right)^{30}\\
=2^{15} \cdot \left( \cos{\left( \frac{150\pi}{12} \right) }+i\sin{\left( \frac{150\pi}{12} \right) }\right) \\
=32768 \cdot \left( \cos{\left( \frac{25\pi}{2} \right) }+i\sin{\left( \frac{25\pi}{2} \right) }\right)\\
=32768i}\)