Oblicz wyrażenie

[Tifulo]

Oblicz
\(\displaystyle{ \sqrt{7-24i} \cdot (8+7i)}\)

Zacząłem tak: \(\displaystyle{ \sqrt{7-24i} =a+bi}\), rozwiązałem odpowiedni układ, wychodzą dwa wyniki \(\displaystyle{ (-4,3)}\) oraz \(\displaystyle{ (4,-3)}\), który mam wybrać?

[robertm19]

Pierwiastki w ciele liczb zespolonych mają 2 rozwiązania. Więc oba rozważamy.

[Tifulo]

Dlaczego wolfram mówi, że jeden z nich to fałsz?

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%287-24i%29^%281%2F2%29%3D-4%2B3i

[robertm19]

To policz kwadrat dla każdego, to się przekonasz.

[papus]

Jest na to ładny wzorek.

\(\displaystyle{ \sqrt{a + bi} = \pm \left( \sqrt{ \frac{|z| + a}{2} } + sgn(b) * \sqrt{ \frac{|z| - a}{2}} * i } \right)}\)

Liczący u Ciebie mamy

\(\displaystyle{ a = 7 \wedge b = 24 \wedge sgn(b) = -1 \wedge |z| = \sqrt{7 ^{2} + 24 ^{2}} = 25}\)

\(\displaystyle{ z = \pm \left( \sqrt{ \frac{25 + 7}{2} } - \sqrt{ \frac{25 - 7}{2}} * i } \right) = \pm (4 - 3i)}\)

[Tifulo]

1. Czyli będą 2 wyniki tego \(\displaystyle{ \sqrt{7-24i} \cdot (8+7i)}\)?

2. Jak z tym się uporać: \(\displaystyle{ (3+i)^{9}}\) - wychodzi straszny sinus i kosinus.

[yorgin]

Jest na to ładny wzorek.

\(\displaystyle{ \sqrt{a + bi} = \pm \left( \sqrt{ \frac{|z| + a}{2} } + sgn(b) * \sqrt{ \frac{|z| - a}{2}} * i } \right)}\)

Wzorek, który każdy na pewno pamięta.

Wystarczy zauważyć, że

\(\displaystyle{ 7-24i=16-9-24i=4^2+(3i)^2-2\cdot 4\cdot 3i=(4-3i)^2}\).

Teraz nie trzeba żadnych wzorków.

[papus]

W zadaniu drugim wykorzystaj wzór de Moivre'a.

\(\displaystyle{ (a + bi) ^{n} = |z|^n\left[ \cos (n\varphi)+ i\sin (n\varphi)\right]}\)

[Tifulo]

Tylko jak kąt obliczyć, bo sinus/kosinus dziwny jest.

[papus]

To może tak tylko że będzie ciężko to liczyć

\(\displaystyle{ \left[ (3 + i) ^{3}\right] ^{3} = (18 + 26i) ^{3}}\)

[Mariusz M]

Jest na to ładny wzorek.

\(\displaystyle{ \sqrt{a + bi} = \pm \left( \sqrt{ \frac{|z| + a}{2} } + sgn(b) * \sqrt{ \frac{|z| - a}{2}} * i } \right)}\)

Wzorek ten nie jest też prawdziwy dla wszystkich liczb zespolonych
Co mamy dla ujemnych rzeczywistych