Obraz koła jednostkowego

[m-urzynka]

Mam zadanie do rozwiązania.
Wyznaczyć obraz koła jednostkowego poprzez funkcję:
1) \(\displaystyle{ f(z)=\sqrt{ \frac{z-1}{z+1} }}\)
Z góry, dziękuję za pomoc.

[Chromosom]

Najpierw usuń liczbę zespoloną z mianownika.

[m-urzynka]

Czyli mnożę licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ (\overline{z}-1)}\) a wiec otrzymuję:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{(z-1)(\overline{z}-1)}{(z+1)(\overline{z}-1)} }= \sqrt{ \frac{x^2-(y+i)^2}{(x+1)^2-y^2} }}\)
Mam nadzieję że nigdzie się nie pomyliłam i co dalej?

[robertm19]

Metoda przy funkcjach homograficznych jest następująca: (później obliczymy pierwiastek)
\(\displaystyle{ w=\frac{z-1}{z+1}}\), z tego wyliczamy \(\displaystyle{ z}\).
\(\displaystyle{ z=\frac{w+1}{1-w}}\)
Podstawiamy do wzoru na koło
\(\displaystyle{ |\frac{w+1}{1-w}|<1}\)
\(\displaystyle{ |w+1|<|1-w|}\)
Niech \(\displaystyle{ w=x+iy}\)
Uzyskamy \(\displaystyle{ (x+1)^2+y^2<(1-x)^2+y^2}\), co prowadzi do zbioru \(\displaystyle{ \{x+iy:x<0,y\in R\}}\).
Niech teraz \(\displaystyle{ w=|w|(\cos(\phi+2k\pi)+i\sin(\phi+2k\pi))}\) ( z wcześniejszych obliczeń wynika, że \(\displaystyle{ \phi \in (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})}\).
\(\displaystyle{ \sqrt{w}=\sqrt{|w|}(\cos(\phi/2+k\pi)+i\sin(\phi+k\pi)}\).
Stąd już widać, że szukanym zbiorem jest: \(\displaystyle{ \{z:\phi \in (\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{\pi}{4}+\pi,\frac{3\pi}{4}+\pi)\}}\).

[xtopeczkax]

Uzyskamy \(\displaystyle{ (x+1)^2+y^2<(1-x)^2+y^2}\), co prowadzi do zbioru \(\displaystyle{ \{x+iy:x<0,y\in R\}}\).
Niech teraz \(\displaystyle{ w=|w|(\cos(\phi+2k\pi)+i\sin(\phi+2k\pi))}\) ( z wcześniejszych obliczeń wynika, że \(\displaystyle{ \phi \in (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})}\).
\(\displaystyle{ \sqrt{w}=\sqrt{|w|}(\cos(\phi/2+k\pi)+i\sin(\phi+k\pi)}\).
Stąd już widać, że szukanym zbiorem jest: \(\displaystyle{ \{z:\phi \in (\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{\pi}{4}+\pi,\frac{3\pi}{4}+\pi)\}}\).[/quote]


Mógłby mi ktoś wytłumaczyć od tego momentu?