analiza zespolona

[miley]

Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu.
Zadanie jest następujące: Zbadać, dla jakich \(\displaystyle{ $z$}\) funkcje \(\displaystyle{ $sin z$,~ $cos z$,~ $tg z$}\) przybierają wartości czysto rzeczywiste.
Będę wdzięczna za każdą sugestię.

[cosinus90]

Zapisz te funkcje przy użyciu wzorów Eulera, a następnie rozpisz \(\displaystyle{ z = x+iy}\). Wydziel część rzeczywistą oraz część urojoną powstałej funkcji.

[miley]

Dziękuję.Zapisałam w ten sposób, czy mogę prosić o jakąś wskazówkę jak teraz wyznaczyć części rzeczywiste i urojone tych funkcji?
\(\displaystyle{ \sin z=\frac{e ^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{e ^{i \left( x+iy \right) }-e^{-i \left( x+iy \right) }}{2i}=\frac{e ^{ix-y}-e^{-ix+y}}{2i}}\)
\(\displaystyle{ \cos z=\frac{e ^{iz}+e^{-iz}}{2}=\frac{e ^{i \left( x+iy \right) }+e^{-i \left( x+iy \right) }}{2}=\frac{e ^{ix-y}+e^{-ix+y}}{2}}\)

[Chromosom]

Zastosuj wzór de Moivre'a.

[miley]

A czy mogę prosić o rozpisanie chociaż jednej funkcji dla przykładu?
Nie wiele mi mówi Wzór de Moivre’a w tym przypadku, analiza zespolona to dla mnie czarna magia dlatego pomóżcie pliss

[yorgin]

Wskazówki w tym temacie:

sinus

[cosinus90]

Wskazówka :
\(\displaystyle{ e^{ix-y} = e^{-y} \cdot e^{ix}}\)
\(\displaystyle{ e^{ix}}\) rozpisz ze wzoru de Moivre'a.

[miley]

Dzięki ogromne.
Uzyskałam coś takiego:
\(\displaystyle{ \sin z=\frac{e ^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{e ^{i \left( x+iy \right) }-e^{-i \left( x+iy \right) }}{2i}=\frac{e ^{ix-y}-e^{-ix+y}}{2i}=\frac{e ^{ix} \cdot e^{-y}-e^{-ix} \cdot e^{y}}{2i}=\frac{e ^{-y} \cdot (\cos ~x+i \cdot \sin ~x)-e^{y} \cdot (\cos ~x-i \cdot \sin ~x)}{2i}={\cos ~x \cdot \left( \frac{e ^{-y}-e^{y}}{2i} \right) +i \cdot \sin ~x \cdot \left( \frac{e ^{-y}+e^{y}}{2i} \right)
={$i$ \cdot \cos ~x \cdot \sinh ~y+\sin ~x \cdot \cosh ~y}}\)


\(\displaystyle{ \cos z=\frac{e ^{iz}+e^{-iz}}{2}=\frac{e ^{i \left( x+iy \right) }+e^{-i \left( x+iy \right) }}{2}=\frac{e ^{ix-y}+e^{-ix+y}}{2}=\frac{e ^{ix} \cdot e^{-y}+e^{-ix} \cdot e^{y}}{2}=\frac{e ^{-y} \cdot (\cos ~x+i \cdot \sin ~x)+e^{y} \cdot (\cos ~x-i \cdot \sin ~x)}{2}={\cos ~x \cdot \left( \frac{e ^{-y}+e^{y}}{2} \right) +i^2 \cdot \sin ~x \cdot \left( \frac{e ^{-y}-e^{y}}{2i} \right) =}\)
\(\displaystyle{ =\cos ~x \cdot \cosh ~y-$i$ \cdot \sin ~x \cdot \sinh ~y}\)


Aby funkcja przyjmowała wartości czysto rzeczywiste musi zachodzić
- Dla funkcji \(\displaystyle{ \sin z}\):
\(\displaystyle{ \cos ~x \cdot \sinh ~y=0}\) zatem \(\displaystyle{ \cos ~x=0}\) lub \(\displaystyle{ \sinh ~y=0}\)
1.\(\displaystyle{ \cos ~x=0 \Leftrightarrow x= \frac{ \pi }{2}+2k \pi , k \in Z}\)
2.A co z przypadkiem \(\displaystyle{ \sinh ~y=0 ?}\) Zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\)?
- Dla funkcji \(\displaystyle{ \cos z}\):
\(\displaystyle{ \sin ~x \cdot \sinh ~y=0}\) zatem \(\displaystyle{ \sin ~x=0}\) lub \(\displaystyle{ \sinh ~y=0}\)
1.\(\displaystyle{ \sin ~x=0 \Leftrightarrow x= k \pi , k \in Z}\)
2.\(\displaystyle{ \sinh ~y=0}\).Pytanie jak powyżej, czy zachodzi jedynie dla x=0 ?

I pytanie co z \(\displaystyle{ \tg z}\)? Bo nie mam pojęcia jak się za niego zabrać.
Proszę o sprawdzenie i dalsze wskazówki.

[cosinus90]

Do tej pory poprawnie.

2.A co z przypadkiem \(\displaystyle{ sinh~y=0}\) ? Zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\)?

Nie dla \(\displaystyle{ x=0}\), tylko dla \(\displaystyle{ y=0}\). Tak, łatwo się o tym przekonać patrząc choćby na wykres sinusa hiperbolicznego. To samo przy cosinusie.

Co do tangensa - użyj wzoru, który wiąże go z sinusem i cosinusem.

[miley]

Racja, dla \(\displaystyle{ y=0}\). Przeoczenie. Bardzo dziękuję za pomoc.
Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ \tg ~z}\) nie potrafie ruszyć z miejsca ;/ \(\displaystyle{ \tg ~z= \frac{\sin ~z}{\cos ~z}}\) i co dalej? próbowałam coś kombinować, ale nic sensownego nie wychodzi.

[cosinus90]

Nie no, wykorzystaj wcześniejszą pracę podstaw to, co Ci powychodziło na samym końcu dla sinusa i cosinusa. Potem tak przekształć ułamek, żeby wydostać część urojoną i rzeczywistą.

[miley]

Czyli powyższe rozwiązanie jest już ok? A z tym \(\displaystyle{ \tg z}\) mam coś takiego, tylko pytanie czy w ogóle idę w dobrym kierunku,bo nie zafajnie to wygląda...
\(\displaystyle{ \tg ~z= \frac{\sin ~z}{\cos ~z}= \frac{i \cdot \cos ~x \cdot \sinh ~y+\sin ~x \cdot \cosh ~y}{\cos ~x \cdot \cosh ~y-i \cdot \sin ~x \cdot \sinh ~y} \cdot \frac{\cos ~x \cdot \cosh ~y+i \cdot \sin ~x \cdot \sinh ~y}{\cos ~x \cdot \cosh ~y+i \cdot \sin ~x \cdot \sinh ~y}= \frac{i \cdot \cos ^{2}~x \cdot \sinh ~y \cdot \cosh ~y - \sin ~x \cdot \cos ~x \cdot \sinh ^{2}~y +\sin ~x \cdot \cos ~x \cdot \cosh ^{2}~y+i \cdot \sin ^{2}~x \cdot \sinh ~y \cdot \cosh ~y }{\cos ^{2}~x \cdot \cosh ^{2}~y+\cdot \sin ^{2}~x \cdot \sinh ^{2}~y}= \frac{i \cdot \sinh ~y \cdot \cosh ~y \cdot (\cos ^{2}~x+\sin ^{2}~x)+ \sin ~x \cdot \cos ~x \cdot (\cosh ^{2}~y-\sinh ^{2}~y) }{\cos ^{2}~x \cdot \cosh ^{2}~y+\cdot \sin ^{2}~x \cdot \sinh ^{2}~y}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{i \cdot \sinh ~y \cdot \cosh ~y+\sin ~x \cdot \cos ~x}{\cos ^{2}~x \cdot \cosh ^{2}~y+\cdot \sin ^{2}~x \cdot \sinh ^{2}~y}}\)
i jak można to uprościć?
Próbowałam jeszcze uprościć mianownik i w ostateczności wyszło mi w nim coś takiego:
\(\displaystyle{ \cos ^{2}~x \cdot \cosh ^{2}~y+\cdot \sin ^{2}~x \cdot \sinh ^{2}~y=\cosh ^{2}~y- \sin ^{2}~x}\) ale to chyba jest źle...
Jak to sensowniej zrobić?

[cosinus90]

Na pierwszy rzut oka błędów nie ma. Nie musisz tego już bardziej upraszczać, wystarczy teraz podzielić na sumę dwóch ułamków (odpowiednio dla części rzeczywistej i urojonej), a następnie przyrównać licznik ułamka przy części urojonej do zera.

[miley]

Czyli tak:
\(\displaystyle{ \frac{i \cdot sinh~y \cdot cosh~y+sin~x \cdot cos~x}{cos^{2}~x \cdot cosh^{2}~y+\cdot sin^{2}~x \cdot sinh^{2}~y}= \frac{sin~x \cdot cos~x}{cos^{2}~x \cdot cosh^{2}~y+\cdot sin^{2}~x \cdot sinh^{2}~y}\\+ \frac{i \cdot sinh~y \cdot cosh~y}{cos^{2}~x \cdot cosh^{2}~y+\cdot sin^{2}~x \cdot sinh^{2}~y}}\)
\(\displaystyle{ Im~z=0 \Leftrightarrow \frac{sinh~y \cdot cosh~y}{cos^{2}~x \cdot cosh^{2}~y+\cdot sin^{2}~x \cdot sinh^{2}~y} \Leftrightarrow \\sinh~y \cdot cosh~y=0~~ \wedge~~cos^{2}~x \cdot cosh^{2}~y+\cdot sin^{2}~x \cdot sinh^{2}~y \neq 0}\)
1a) \(\displaystyle{ sinh~y \cdot cosh~y=0 \Leftrightarrow sinh~y=0 ~~\vee~~cosh~y=0}\)
\(\displaystyle{ sinh~y=0 \Leftrightarrow y=0}\)
2.\(\displaystyle{ cosh~y=0}\) nie zachodzi bo zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ cosh~y \in<1,+ \infty )}\)
W porządku jest?
A jak rozpatrzeć to \(\displaystyle{ cos^{2}~x \cdot cosh^{2}~y+\cdot sin^{2}~x \cdot sinh^{2}~y \neq 0}\) ?

[cosinus90]

Tak, w porządku.
Zauważ, że
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 0 \vee b \neq 0}\)