Bardzo dziękuje za niezbędne wskazówki.
Zatem:
\(\displaystyle{ cos^{2}~x \cdot cosh^{2}~y+sin^{2}~x \cdot sinh^{2}~y \neq 0}\) zatem \(\displaystyle{ cos^{2}~x \cdot cosh^{2}~y\neq 0 \vee sin^{2}~x \cdot sinh^{2}~y \neq 0}\)
Wtedy:
1.
\(\displaystyle{ cos^{2}~x \cdot cosh^{2}~y\neq 0 \Leftrightarrow cos^{2}~x \neq 0 \wedge cosh^{2}~y\neq 0 \Leftrightarrow cos~x \neq 0 \wedge cosh~y\neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{ \pi }{2}+k \cdot \pi ,k \in Z \wedge y \in R}\)
lub
2.
\(\displaystyle{ sin^{2}~x \cdot sinh^{2}~y \neq 0 \Leftrightarrow sin^{2}~x\neq 0 \wedge sinh^{2}~y \neq 0 \Leftrightarrow sin~x\neq 0 \wedge sinh~y \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \cdot \pi, k \in Z \wedge y \neq 0}\)
Ostatecznie mamy:
z punktu 1a) i 1. \(\displaystyle{ \Rightarrow y=0 \wedge x \neq \frac{ \pi }{2}+k \cdot \pi ,k \in Z}\)
z punktu 1a) i 2. \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) sprzeczność
Na to wychodzi, że jedynym \(\displaystyle{ z}\), dla którego funkcja \(\displaystyle{ tg~z}\) przyjmuje wartości czysto rzeczywiste jest \(\displaystyle{ z=x+iy}\), gdzie \(\displaystyle{ y=0 \wedge x \neq \frac{ \pi }{2}+k \cdot \pi ,k \in Z}\)??
analiza zespolona
analiza zespolona
I jeszcze jedno pytanie do wcześniejszych funkcji.
Funkcja \(\displaystyle{ sin~z}\) przyjmuje wartości czysto rzeczywiste dla \(\displaystyle{ z=x+iy}\) gdzie \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+k \pi , k \in Z}\) (pytanie: i wtedy \(\displaystyle{ y \in R ??)}\) lub \(\displaystyle{ y=0}\) (i wtedy \(\displaystyle{ x \in R??}\)) oraz \(\displaystyle{ cos~z}\) przyjmuje wartości czysto rzeczywiste dla \(\displaystyle{ z=x+iy}\) gdzie \(\displaystyle{ x= k \pi , k \in Z (~\wedge y \in R??)}\) lub \(\displaystyle{ y=0 (~\wedge x \in R??)}\)
Funkcja \(\displaystyle{ sin~z}\) przyjmuje wartości czysto rzeczywiste dla \(\displaystyle{ z=x+iy}\) gdzie \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}+k \pi , k \in Z}\) (pytanie: i wtedy \(\displaystyle{ y \in R ??)}\) lub \(\displaystyle{ y=0}\) (i wtedy \(\displaystyle{ x \in R??}\)) oraz \(\displaystyle{ cos~z}\) przyjmuje wartości czysto rzeczywiste dla \(\displaystyle{ z=x+iy}\) gdzie \(\displaystyle{ x= k \pi , k \in Z (~\wedge y \in R??)}\) lub \(\displaystyle{ y=0 (~\wedge x \in R??)}\)