Wyznaczyć Re i Im

[qwerty286]

Wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną dla liczby:

\(\displaystyle{ | z^{ \alpha }|, z, \alpha \in C}\)

\(\displaystyle{ | z^{ \alpha }|=|e ^{ \alpha \log z}|=( \alpha =x+iy)=|e ^{x+iy}e ^{\log z}=|e ^{(x+iy)(\ln |z|+i \arg z)} |}\)

Nie wiem czy dalej mam to wymnożyć,czy jakoś inaczej to w ogóle zacząć, proszę o pomoc.

[miodzio1988]

Urojoną to chyba wiadomo, jak masz moduł, nie?

[qwerty286]

A no tak, czyli urojona będzie równa zero, ale jak dojść do rzeczywistej?

[miodzio1988]

Jaka jest część rzeczywista np liczby \(\displaystyle{ 5}\) ?

[qwerty286]

No 5, mam rozumieć, że ten przykład jest jakoś banalnie prosty?

[miodzio1988]

Dla mnie to jest takie oczywiste rozwiązanie. Nie wiem co autor miał na myśli

[omicron]

\(\displaystyle{ \begin{cases}
z=|z|e^{ix} \\
\alpha = a+bi
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z^{\alpha} = |z|e^{ix(a+bi)} = |z|e^{-bx}e^{iax}}\)

\(\displaystyle{ |z^{\alpha}| = |z|e^{-\mathrm{Im}(\alpha)\mathrm{Arg}(z)}}}\)

[robertm19]

Wymnóż to. To co da się wyciągnąć przed moduł, to wyciągnij. Dla reszty zastosować \(\displaystyle{ |e^{i\phi}|=|\cos \phi+i\sin \phi|=1}\)