Mam problem z zadaniem.
Jest ono w dziale liczby zespolone dla tego tutaj je dodaje.
Próbowałem coś ruszyć ale mi nie idzie.
Oto ono:
Udowodnij że:
\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{11}+\cos \frac{3\pi}{11}+\cos \frac{5\pi}{11}+\cos \frac{7\pi}{11}+\cos \frac{9\pi}{11} = \frac{1}{2}}\)
proszę o pomoc
Dowód suma cosinusów
Dowód suma cosinusów
Ostatnio zmieniony 18 maja 2013, o 09:24 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. \pi a nie pi
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. \pi a nie pi
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Dowód suma cosinusów
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{11}+\cos\frac{3\pi}{11}+\cos\frac{5\pi}{11}+\cos\frac{7\pi}{11}+\cos\frac{9\pi}{11}=\Re\left(e^{i\frac{\pi}{11}}+e^{i\frac{3\pi}{11}}+e^{i\frac{5\pi}{11}}+e^{i\frac{7\pi}{11}}+e^{i\frac{9\pi}{11}}\right)=\\\\
=\Re\left(e^{i\frac{\pi}{11}}\cdot\frac{1-\left(e^{i\frac{2\pi}{11}}\right)^5}{1-e^{i\frac{2\pi}{11}}}\right)=\Re\left(\frac{e^{i\frac{\pi}{11}}-e^{i\pi}}{\left(1-e^{i\frac{\pi}{11}}\right)\left(1+e^{i\frac{\pi}{11}}\right)}\right)=\Re\left(\frac{1}{1-e^{i\frac{\pi}{11}}}\right)=\\\\
=\Re\left(\frac{1}{1-\cos\frac{\pi}{11}-i\sin\frac{\pi}{11}}\right)=\Re\left(\frac{1-\cos\frac{\pi}{11}+i\sin\frac{\pi}{11}}{\left(1-\cos\frac{\pi}{11}\right)^2+\sin^2\frac{\pi}{11}}\right)=\frac{1-\cos\frac{\pi}{11}}{\left(1-\cos\frac{\pi}{11}\right)^2+\sin^2\frac{\pi}{11}}=\\\\
=\frac{1-\cos\frac{\pi}{11}}{2-2\cos\frac{\pi}{11}}=\frac{1}{2}}\)
=\Re\left(e^{i\frac{\pi}{11}}\cdot\frac{1-\left(e^{i\frac{2\pi}{11}}\right)^5}{1-e^{i\frac{2\pi}{11}}}\right)=\Re\left(\frac{e^{i\frac{\pi}{11}}-e^{i\pi}}{\left(1-e^{i\frac{\pi}{11}}\right)\left(1+e^{i\frac{\pi}{11}}\right)}\right)=\Re\left(\frac{1}{1-e^{i\frac{\pi}{11}}}\right)=\\\\
=\Re\left(\frac{1}{1-\cos\frac{\pi}{11}-i\sin\frac{\pi}{11}}\right)=\Re\left(\frac{1-\cos\frac{\pi}{11}+i\sin\frac{\pi}{11}}{\left(1-\cos\frac{\pi}{11}\right)^2+\sin^2\frac{\pi}{11}}\right)=\frac{1-\cos\frac{\pi}{11}}{\left(1-\cos\frac{\pi}{11}\right)^2+\sin^2\frac{\pi}{11}}=\\\\
=\frac{1-\cos\frac{\pi}{11}}{2-2\cos\frac{\pi}{11}}=\frac{1}{2}}\)