Analiza zespolona

[xtopeczkax]

Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu kilku zadań do których szczerze mówiąc nie mam pojęcia jak się zabrać.

1. Dane są 3 różne punkty \(\displaystyle{ z_0, z_1, z_2}\). Napisać równanie prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ z_0}\)i równoległej do wektora \(\displaystyle{ z_2-z_1}\).

2. Trzy punkty (z zad 1) leżą na jednej prostej. Wykazać, że \(\displaystyle{ \frac{z_2-z_0}{z_1-z_0}}\) jest liczbą rzeczywistą.

3. Jaką krzywą przedstawia równanie
a) \(\displaystyle{ \left| z^2-1\right|=r}\)
b) \(\displaystyle{ \left[ z+1\right]+\left[ z-1\right]=r, r>0}\)

4. Dane są 4 różne punkty \(\displaystyle{ z_0, z_1, z_2, z_3}\) takie, że \(\displaystyle{ \frac{z_0-z_2}{z_1-z_2}* \frac{z_0-z_3}{z_1-z_3}}\) jest liczbą rzeczywistą. Wykazać, że punkty \(\displaystyle{ z_k,}\) k=0,1,2,3 leżą na jednym okręgu.

5. Liczba z spełnia równanie: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z-z_k}=0}\). Wykazać, że jeśli punkty \(\displaystyle{ z_k}\) są wierzchołkami wielokąta wypukłego \(\displaystyle{ W_n}\), to \(\displaystyle{ z\in W_n}\)

[miodzio1988]

Problemy są konkrtetnie jakie?

[xtopeczkax]

Takie, że np mam w zad 1 punkty i przechodzącej przez punkt podany i jak mam sie do tego zabrac? Trzeba tu skorzystac z rownania prostej? Ja poprostu nie mam pojecia:(

[Tulio]

Wektor \(\displaystyle{ z_{2}-z_{1}}\) umiesz policzyć? Później licealne znajdowanie prostej przechodzącej przez dany punkt równoległej do prostej (tutaj: posiadającej pewien wektor).

Zauważmy, że w zapisie kierunkowym prostej rzeczywistej mamy: \(\displaystyle{ y=ax+b}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to pierwsza współrzędna wektora, zaś \(\displaystyle{ y}\) druga współrzędna wektora. Przykładowo:

\(\displaystyle{ z_{0}=(3,5) z_{1}=(8,4) z_{2}=(-1,13)}\)
\(\displaystyle{ z_{2}-z_{1}=[-9,9]}\)
Stąd \(\displaystyle{ a=\frac{9}{-9}=-1}\)

Masz \(\displaystyle{ y=-x+b}\) i teraz aby wstawić \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) punktu przez który ta prosta ma przechodzić.

[Dasio11]

5. Podpowiedź: Jeśli

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{z-z_k} = 0,}\)

to

\(\displaystyle{ 0 = \overline{0} = \overline{ \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{z-z_k} \right) } = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\overline{z-z_k}} = \sum_{k=1}^n \frac{z-z_k}{|z-z_k|^2}.}\)