Obrazy odcinków

[qwerty286]

Wyznaczyć obraz odcinka\(\displaystyle{ AB}\) w funkcji \(\displaystyle{ f(z)}\):
\(\displaystyle{ A=1, B=2i, f(z)= \frac{1}{z}}\)
Czy obrazem odcinka będzie po prostu odcinek
\(\displaystyle{ f(A)=1, f(B)= -\frac{1}{2}i}\) czyli obrazem jest odcinek \(\displaystyle{ C=1, D=-\frac{1}{2}i}\) ??

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ f(\overline{AB}) =\left\{z\in\mathbb{C} : \left| z-\frac{1}{2} -\frac{1}{4} i\right| =\frac{\sqrt{5}}{4} \wedge \left| z-\frac{1}{2}\right| \geq \frac{1}{2} \wedge z+\overline{z} \geq 0\right\}}\)

[qwerty286]

Dzięki bardzo, tylko nie wiem skąd to się wzięło i byłabym wdzięczna za wyjaśnienie

[omicron]

\(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{z}}\)

Weźmy funkcję \(\displaystyle{ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}}\) taką, że dla \(\displaystyle{ x\in[a,b]=C}\), \(\displaystyle{ g(C) = \overline{AB}}\)

Przykładowa funkcja takiej postaci to funkcja \(\displaystyle{ g(x) = x+ih(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ h(x)}\) jest funkcją liniową przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ (1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,2)}\).

\(\displaystyle{ g(x) = x-i(2x-2)}\)

\(\displaystyle{ x\in [0,1]}\)

Weźmy teraz funkcję \(\displaystyle{ (f\circ g)(x)}\)

\(\displaystyle{ (f\circ g)(x) = \frac{1}{x-i(2x-2)}}\)

Jako, że \(\displaystyle{ g(C) = \overline{AB}}\) oraz \(\displaystyle{ (f\circ g)(x) = f(g(x))}\) mamy więc:

\(\displaystyle{ (f\circ g)(C) = f(g(C)) = f(\overline{AB})}\)

stąd ostatecznie mamy:

\(\displaystyle{ f(\overline{AB}) = \left\{z\in \mathbb{C}:\forall_{x\in[0,1]}\, z= \frac{1}{x-i(2x-2)} \right\}}\)