obraz koła jednostkowego przy przekształceniu

[Natasha]

\(\displaystyle{ f \left( z \right) = \frac{1+z}{z}}\)
\(\displaystyle{ D=\left\{ z \in C:\left| z\right|<1 \right\}}\)
\(\displaystyle{ f \left( D \right) =?}\)

\(\displaystyle{ f \left( 0 \right) =\infty}\)
\(\displaystyle{ f \left( 1 \right) =2}\)
\(\displaystyle{ f \left( -1 \right) =0}\)
\(\displaystyle{ f \left( i \right) =1-i}\)
\(\displaystyle{ f \left( -i \right) =1+i}\)
\(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}i \right) =2-i}\)
\(\displaystyle{ f \left( -\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}i \right) =-i}\)
\(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2}- \frac{1}{2}i \right) =2+i}\)
\(\displaystyle{ f \left( -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i \right) =i}\)

Zatem obrazem będzie cała płaszczyzna zespolona bez kwadratu o wierzchołkach \(\displaystyle{ \left( 0,i \right)}\), \(\displaystyle{ \left( 2,i \right)}\), \(\displaystyle{ \left( 2,-i \right)}\), \(\displaystyle{ \left( 0,-1 \right)}\), tak?
Czyli \(\displaystyle{ f \left( D \right) =C \setminus \left\{ -i<f \left( z \right) <i, 0<z<2\right\}}\)

Chciałabym też zrobić to trochę bardziej formalnie, czyli wyznaczyć \(\displaystyle{ f \left( e ^{it} \right)}\).
\(\displaystyle{ z=e ^{it}}\), \(\displaystyle{ t \in \left[ 0,2\pi\right]}\).
\(\displaystyle{ f \left( e ^{it} \right) = \frac{1+e ^{it} }{e ^{it} }= \frac{\cos t+i\sin t+1}{\cos t+i\sin t}=...}\)
Próbowałam rozpisywać dalej z jedynki i grupować, ale to nic nie da.
Proszę o pomoc.

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ f(e^{it} ) =1+e^{-it},}\) więc \(\displaystyle{ f(U) =1+U,}\) gdzie \(\displaystyle{ U=\{\xi\in\mathbb{C} \xi |=1\} .}\)

[Natasha]

A można troszkę jaśniej?

[xtopeczkax]

Mógłby mi ktoś powiedzieć skąd wzieły się te punkty, tzn wierzchołki? Mam podobne zadanie i nie czaje... I dlaczego później jest liczone np \(\displaystyle{ f(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i)}\) ?

[bartek118]

Nie do końca powinno się tak liczyć. W tym wypadku mamy \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1+z}{z} = 1+\frac{1}{z}}\)
Zatem, jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ g(z) = \frac{1}{z}}\), to wówczas:
\(\displaystyle{ f(D) = 1 + g(D) = 1 + \left\{ z \in \mathbb{C} \ | \ |z| > 1 \right\} = \left\{ z + 1 \in \mathbb{C} \ | \ |z| > 1 \right\} = \left\{ z \in \mathbb{C} \ | \ |z-1| > 1 \right\}}\)