ZESPOLONA obraz koła jednostkowego przy przekształceniu

[bombonka90]

Wyznacz obraz koła jednostkowego przy przekształceniu \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1+2z}{1-2z}}\)

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ f(U) =\left\{z\in \mathbb{C} : \left|z+\frac{5}{3}\right|\geq \frac{5}{3}\right\}}\)

[yorgin]

Dużo bardziej dydaktyczne rozwiązanie:

Odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) jest homotetią o środku w punkcie \(\displaystyle{ z=\frac{1}{2}}\). Czyi bardziej dokładnie - jest to inwersja względem tego punktu. Co więcej ten punkt leży wewnątrz koła jednostkowego.

Wystarczy teraz wyznaczyć obraz brzegu koła. Wtedy ten obraz jest oczywiście okręgiem. Poszukiwany obraz to nieograniczona część płaszczyzny ograniczona tym okręgiem. Równanie okręgu można znaleźć biorąc trzy byle jakie punkty z okręgu jednostkowego, albo biorąc dwa leżące na osi rzeczywistej (czyli średnicę). Wtedy \(\displaystyle{ f}\) przerzuci tę średnicę na średnicę drugiego koła (to jest prawdziwe w przypadku, gdy średnicę leżącą na jednej prostej ze środkiem inwersji).

Łatwo więc sprawdzić, że \(\displaystyle{ f(1)=-3, f(-1)=-\frac{1}{3}}\). Środek to \(\displaystyle{ z=-5/3}\), promień \(\displaystyle{ 4/3}\). Wniosek:

\(\displaystyle{ f(\overline{B}(0,1))=\CC\setminus B\left(-\frac{5}{3},\frac{4}{3}\right)}\)

[Dasio11]

Łatwo więc sprawdzić, że \(\displaystyle{ f(1)=-3, f(-1)=\frac{1}{3}}\). Środek to \(\displaystyle{ z=-5/3}\), promień \(\displaystyle{ 5/3}\).

Hm, chyba \(\displaystyle{ f(-1) = - \frac{1}{3}.}\)

[yorgin]

Hm, chyba \(\displaystyle{ f(-1) = - \frac{1}{3}.}\)

Tak... Edytowałem swój poprzedni post.