Analiza zespolona

[dela]

Witam,

mam pytanie co do następującego zad, przyznam, że nie mam pojęcia jak się za nie zabrać, nważne jest dla mnie po prostu jego rozwiązanie.
Zad. Zbadać dla jakich \(\displaystyle{ z}\) funkcje \(\displaystyle{ \sin z, \cos z, \tg z}\) przybierają wartości czysto urojone.
Będę wdzięczna za pomoc

[Dasio11]

1) Ze wzoru na sinus sumy:

\(\displaystyle{ \sin(x+y \mathrm i) = \sin x \cos y \mathrm i + \cos x \sin y \mathrm i = \sin x \cosh y + \mathrm i \cos x \sinh y.}\)

Ta liczba jest czysto urojona wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \sin x \cosh y = 0,}\) czyli gdy

\(\displaystyle{ \sin x = 0}\) lub \(\displaystyle{ \cosh y = 0.}\)

Druga równość jest niemożliwa (bo zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ \cosh}\) jest \(\displaystyle{ [1, infty)}\) ), a pierwsza zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ x = k \pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \ZZ.}\)

2) Zachodzi wzór

\(\displaystyle{ \cos z = \sin \left( \frac{\pi}{2} - z \right),}\)

zatem \(\displaystyle{ \cos z = 0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{\pi}{2} - z \right) = 0.}\) Z poprzedniego podpunktu wiemy, że tak jest wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - x = k \pi,}\) czyli \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} - k \pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)

(gdzie \(\displaystyle{ x = \Re z}\)).

3) Na mocy wzoru na sinus sumy, zachodzi wzór

\(\displaystyle{ \sin(a+b) + \sin(a-b) = \sin(a+b) + \sin(a+(-b)) = \sin a \cos b + \cos a \sin b + \sin a \cos (-b) + \cos a \sin(-b) = 2 \sin a \cos b.}\)

Ponadto

\(\displaystyle{ \overline{\cos z} = \overline{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!} } = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \overline{z}^{2n}}{(2n)!} = \cos \overline{z},}\)

a zatem

\(\displaystyle{ \tg (x+y \mathrm i)
= \frac{\sin(x+y \mathrm i)}{\cos(x+y \mathrm i)}
= \frac{2 \sin (x+y \mathrm i) \overline{ \cos (x+y \mathrm i) }}{2 \cos(x+y \mathrm i) \overline{ \cos(x+y \mathrm i)}}
= \frac{2 \sin(x+y \mathrm i) \cos( \overline{x+y \mathrm i})}{2 | \cos (x+y \mathrm i ) |^2} \\ \\ \\
= \frac{2 \sin(x+y \mathrm i) \cos( x-y \mathrm i)}{2 | \cos (x+y \mathrm i ) |^2}
= \frac{ \sin( (x+y \mathrm i) + (x-y \mathrm i)) + \sin ( (x+y \mathrm i) - (x-y \mathrm i))}{2 | \cos (x+y \mathrm i ) |^2} \\ \\ \\
= \frac{\sin(2x) + \sin(2y \mathrm i)}{2 | \cos (x+y \mathrm i ) |^2}
= \frac{\sin(2x)}{2 | \cos (x+y \mathrm i ) |^2} + \mathrm i \cdot \frac{\sinh(2y)}{2 | \cos (x+y \mathrm i ) |^2}.}\)

Widać więc, że \(\displaystyle{ \tg(x+y \mathrm i)}\) będzie czysto urojony wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \frac{\sin(2x)}{2 | \cos (x+y \mathrm i ) |^2} = 0,}\)

czyli gdy \(\displaystyle{ \sin(2x) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ \cos(x+y \mathrm i) \neq 0.}\) Jest tak, gdy

\(\displaystyle{ x = k \pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)

lub

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + k \pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\) oraz \(\displaystyle{ y \neq 0.}\)

[dela]

dziękuję ślicznie za odp, spróbuję coś zrozumieć z metod ich rozw:)
a czy jakieś rysunki byłyby do tego potrzebne?
bo to są zad na zaliczenie... ;/ a ja naprawdę cienka jestem z zespolonej

[Dasio11]

Rysunki nie są potrzebne. Warto pamiętać postać algebraiczną trygonometrycznych funkcji zespolonych, bo wtedy ma się punkt wyjścia w tego typu problemach.