pierwiastek z liczby zespolonej

[KaSia222]

Mam policzyć \(\displaystyle{ \sqrt[5]{-4+3i}}\)
Jak tu skorzystać z funkcji cyklometrycznych?

[Kartezjusz]

Może wzór ten odwrotny do wzoru de Moivre'a

[KaSia222]

Pewnie tak, ale ja doszłam do tego, że muszę rozwiązac układ równań:
\(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{-3}{5} \right) =t}\) oraz \(\displaystyle{ \arccos \left( {\frac{4}{5} \right) =t}\) i wstyd się przyznać ale nie umiem znaleźć tego \(\displaystyle{ t,}\) a próbuję już bardzo długo. Kartezjusz, pomożesz? Podpowiedz coś, bardzo proszę.

[Kartezjusz]

Zauważ,że po lewej stronie masz gotowe liczby...

[KaSia222]

Wiem, ale to mi da, że \(\displaystyle{ \sin t=\frac{-3}{5}}\) a \(\displaystyle{ \cos t=\frac{4}{5}}\) a mnie chodzi o to żeby obliczyc t...Znalazłam dokładne wartości \(\displaystyle{ \arcsin}\) i \(\displaystyle{ \arccos}\) w tablicach, ale mam odpowiedź do zadania i tam nie ma dokładnych wartości.
Nie wiem co dalej

-- 12 kwi 2013, o 18:06 --

Proszę Kartezjusz, pomóż

[Kartezjusz]

co chcesz jeśli masz \(\displaystyle{ x=6,y=8}\) T już wyliczyłaś!

[KaSia222]

Skad to się wzięło??????????

[Kartezjusz]

nic. Staram ci przekazać cały czas,że z lewej strony masz t ,a z prawej liczbę ,czyli jakbyś rozwiązała równanie. Teraz zidentyfikuj ćwiartkę na podstawie znaków

[KaSia222]

Własnie z tym mam problem...nie możesz poprostu napisac ile t wynosi?

[Kartezjusz]

Jako,że \(\displaystyle{ \sin t= -\frac{3}{5}}\) ;\(\displaystyle{ \cos t= \frac{4}{5}}\) to wynika z "wierszyka" ,że to jest czwarta ćwiartka,czyli trzeba dodać \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi}\) do wyniku wyjściowego.

Czyli \(\displaystyle{ t=\mbox{arccos} \frac{4}{5}+ \frac{3}{2} \pi}\)

[KaSia222]

aha, ale ja mam w odpowiedziach takie coś:
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{5}\left[ \cos \frac{(2k+1)\pi-\arctan \frac{3}{4}}{5}+i\sin \frac{(2k+1)\pi-\arctan \frac{3}{4}}{5}\right]}\) dla k=0,1,2,3,4

Skad to się wzięło?

[Kartezjusz]

Bo to po minusach to jest argument główny..Jako,że pierwiastek jest piątego stopnia.Więc dzielimy przez pięć i pierwiastkujemy moduł.Cała różnica wynikła z użycia tangensa zamiast cosinusa