pierwiastki zespolone

[KaSia222]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=\left\{ \sqrt[n]{|z|}\left( \cos \frac{t+2k\pi}{n}+i\sin \frac{t+2k\pi}{n} \right)\right\}}\) dla k=0,1,2...n-1
mam pytanie odnośnie szukania kata t
Wiem że trzeba zastosować \(\displaystyle{ argz}\) ale np. w zadaniu poniżej wychodzi mi, że \(\displaystyle{ \sin t= \frac{-3}{5}}\) a \(\displaystyle{ \cos t= \frac{4}{5}}\) I własnie mam problem ze znalezieniem wartości t . czy mógłby mi ktos napisać jak sobie radzić z takimi problemami?
Całe zadanie to obliczyć \(\displaystyle{ \sqrt{4-3i}}\)
Z góry dziękuję

[cosinus90]

Tutaj korzystanie ze wzoru de Moivre'a nastręcza wielu problemów.
Dużo lepiej jest skorzystać z metody algebraicznej :
\(\displaystyle{ \sqrt{4-3i} = x+iy}\)
Podnieś do kwadratu stronami i wylicz współczynniki \(\displaystyle{ x,y}\).

[chris_f]

Jeżeli masz policzyć \(\displaystyle{ \sqrt{4-3i}}\) (ogólnie pierwiastek drugiego stopnia), to nie ma potrzeby używania postaci trygonometrycznej. Szukamy liczb zespolonych \(\displaystyle{ a+bi}\) takich, że
\(\displaystyle{ (a+bi)^2=4-3i}\)
\(\displaystyle{ a^2-b^2+2abi=4-3i}\)
Daje nam to układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a^2-b^2=4\\ 2ab=-3\end{cases}}\)
który zawsze ma rozwiązanie, i to będą szukane pierwiastki.

[KaSia222]

Aha, dziękuję Wam:) A np. jeśli bym miała przykład policzyć np. pierwiastek piątego stopnia z liczby zespolonej to jak wtedy znaleźc ten kąt t?

[cosinus90]

Z układu równań trygonometrycznych. Jeśli wartości funkcji wychodzą takie jak napisałaś, to wtedy trzeba niestety korzystać z funkcji cyklometrycznych i te ułamki w postaci trygonometrycznej będą dość nieładne.

[KaSia222]

Mam taki przykład: \(\displaystyle{ \sqrt[5]{-4+3i}}\)
Jak tu skorzystać z funkcji cyklometrycznych?
Mógłbyś napisać?

-- 12 kwi 2013, o 16:22 --

Czy to jest dobrze:
\(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{-3}{5} \right) =t}\) i \(\displaystyle{ \arccos \left( \frac{4}{5} \right) =t}\)
mam rozwiązac taki układ równań? A jak się za takie cos zabrać? Naprawdę nie wiem...

-- 12 kwi 2013, o 16:31 --

Bardzo proszę o podpowiedź

-- 12 kwi 2013, o 16:36 --

Naprawdę nie wiem jak to rozwiązać, pomóżcie

-- 12 kwi 2013, o 17:26 --

Bardzo proszę o wskazówki

-- 12 kwi 2013, o 17:26 --

Próbuję ale nic mi nie wychodzi

[cosinus90]

Spokojnie, nie musisz pisać aż tyle wypowiedzi, wystarczy cierpliwie poczekać.
Przede wszystkim \(\displaystyle{ t = \arccos \left( \frac{-4}{5}\right)}\) oraz jednocześnie \(\displaystyle{ t = \arcsin\left( \frac{3}{5}\right)}\). I takie wartości należy podstawić do wzoru, co nie da pięknego wyniku.