Równanie zespolone

[xcat]

\(\displaystyle{ (iz) ^{3} = \frac{( \sqrt{3}-i) ^{3} }{(-2+2i) ^{6} }}\)


od czego zacząć?

[yorgin]

Pierwsze, co mi przychodzi do głowy:

\(\displaystyle{ \frac{(\sqrt{3}-i)^3}{((-2+2i)^2)^3}=\ldots}\)

Potem podnieść do kwadratu, i można pierwiastkować stronami. Tylko pierwiastkować z rozwagą.

[xcat]

cos źle robię, bo wychodzą mi 2 pierwiastki :/

[yorgin]

Coś... Mają wyjść trzy pierwiastki. Pokaż rachunki.

[xcat]

podniosłam do kwadratu

\(\displaystyle{ (iz) ^{6}= \frac{( \sqrt{3}-i) ^{6} }{(-2+2i) ^{12} }}\)


pierwiastek 6 stopnia

\(\displaystyle{ \pm iz= \pm \frac{ \sqrt{3}-i }{(-2+2i) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \pm z= \pm \frac{ \sqrt{3}-i }{i(-2+2i) ^{2} }}\)

i z tego różne wersje z plusami i minusami

[yorgin]

Pisząc o podnoszeniu do kwadratu miałem na myśli wykonanie działania w mianowniku:

\(\displaystyle{ (-2-2i)^2}\)

Jejku, myśleć czasem...

Notabene, to co wyżej, jest i tak źle policzone.

[xcat]

\(\displaystyle{ (iz) ^{3}= \frac{( \sqrt{3} -i) ^{3} }{-8i}}\)

\(\displaystyle{ i ^{3}=-i}\)

\(\displaystyle{ z ^{3}= \frac{( \sqrt{3} -i) ^{3} }{-8i \cdot i}}\)

\(\displaystyle{ z ^{3}= \frac{ (\sqrt{3} -i) ^{3} }{8}}\)

mam podniesc nawias do 3 potęgi i skorzystać ze wzoru Movira?

[yorgin]

Coś mi się znak nie zgadza, po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ i}\) prawa strona powinna mieć znak ujemny.

Poza tym - tak, możesz podnosić do trzeciej potęgi, i potem de Moivre, to będzie bezpieczniejsze rozwiązanie.

[xcat]

z Movira wychodzi

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{10} (5 \sqrt{3}+5i) }{8}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{10}( -5 \sqrt{3}+5i )}{8}}\)

\(\displaystyle{ -\frac{ \sqrt[3]{10}i }{8}}\)

[yorgin]

Nie znam żadnego Movira.

Te liczby nie wyglądają za dobrze.

Szczególnie, że \(\displaystyle{ (\sqrt{3}-i)^3=-8i}\)

[xcat]

--- 14 kwi 2013, o 19:24 --\(\displaystyle{ -i}\)


\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}- \frac{1}{2}i}\)


\(\displaystyle{ \frac{ -\sqrt{3} }{2}- \frac{1}{2}i}\)