Dowód, że odległość jest mniejsza bądź równa 1

[ewelina900]

Hej! Muszę wykazać, że dla dowolnych \(\displaystyle{ z_{1} , z_{2} \in \overline{\CC}}\), (nie wiem jak dać kreskę nad C, chodzi o \(\displaystyle{ \CC \cup \infty}\)) mamy: \(\displaystyle{ d(z_{1} , z_{2}) \le 1}\).

Dla \(\displaystyle{ d(z, \infty )=\frac{1}{\sqrt{1+\left| z\right|^2}}}\) jest łatwo, bo mianownik jest zawsze większy bądz równy 1, ale dla:
\(\displaystyle{ d \left( z_{1}, z_{2}\right) = \frac{\left| z_{1}-z_{2}\right| }{\left ( 1+\left| z_{1}\right|^2 \right) \left( 1+\left| z_{2}\right|^2 \right)^ \frac{1}{2} }}\)
nie umiem zrobić...próbowałam wykazać, że licznik jest mniejszy od mianownika, ale do niczego nie doszłam
Podpowie mi ktoś?

[matmatmm]

Jak się definiuje to \(\displaystyle{ d}\)? Rozumiem, że to jest metryka, która metryzuje topologię w \(\displaystyle{ \overline{\mathbb{C}}}\), ale taka metryka nie jest wyznaczona jednoznacznie.