Wyprowadzić tożsamości

[crissen]

Wychodząc ze wzoru

\(\displaystyle{ 1+z+z ^{2}+...+z ^{n}= \frac{1-z ^{n+1} }{1-z}}\)
wyprowadź następujące tożsamości:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}r ^{k} \cos kx = \frac{1-r\cos x - r ^{n+1} \cos (n+1)x + r ^{n+2} \cos nx }{1-2r\cos x + r ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}r ^{k} \sin kx = \frac{r\sin x - r ^{n+1} \sin (n+1)x + r ^{n+2} \sin nx }{1-2r\cos x + r ^{2} }}\)

Czy mógłby ktoś rozwiązać mi to zadanie? Bardzo bym prosił, bo w ogóle nie wiem jak się za to zabrać... a na kolokwium czeka mnie takie zadanie. Czy da się takie zadanie podciągnąć pod jakiś schemat? Będę wdzięczny za odpowiedź.

[Qń]

Rozważ sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n\left[ r(\cos x + i\sin x )\right]^k}\)
i policz ją na dwa sposoby - raz używając przytoczonego wzoru, a raz korzystając ze wzoru de Moivre'a. Następnie porównaj część rzeczywistą i część urojoną obu wyników.

Q.