Zbieżność ciągu

[qwerty286]

1.Zbadać zbieżność ciągu
\(\displaystyle{ z _{n}= \frac{ni+ 2^{n} }{3in+5 ^{n} }= \frac{(ni+2 ^{n})(3in-5 ^{n})}{-9n ^{2}-5 ^{2n} }= \frac{10^{n}+3n^{2}+i(n5^{n}-3n2^{n})}{9n^{2}-5^{2n}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \Re(z _{n})= \lim_{ n\to\infty } \frac{10^{n}+3n^{2}}{9n^{2}-5^{2n}} = \lim_{ n\to\infty } \frac{3+ \frac{10^{n}}{n^{2}} }{9- \frac{5^{2n}}{n^{2}} } = \frac{1}{3} \\ \\ \\
\lim_{ n\to\infty } \Im(z _{n} )= \frac{n5^{n}-3n2^n}{9n^{2}-5^{2n}} =\lim_{ n\to\infty } \frac{ \frac{5^{n}}{n}- \frac{3}{n}2^{n} }{9- \frac{5^{2n}}{n^{2}} } =0 \\ \\ \\
\lim_{ n\to\infty }z_{n}= \frac{1}{3}}\)

Proszę o sprawdzenie

2. Znaleźć zbiory punktów, które przedstawiają funkcję:
\(\displaystyle{ z(t)=2e^{it}+e^{-it}, t \in (0,2 \pi ]}\)
\(\displaystyle{ 2e^{it}+e^{-it}=2(\cos(t)+i\sin(t))+\cos(-t)+i\sin(-t)=2\cos(t)+2i\sin(t)+\cos(t)-i\sin(t)= 3\cos(t)+i\sin(t)}\)
\(\displaystyle{ x(t)=3\cos(t)}\)
\(\displaystyle{ y(t)=\sin(t)}\)

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=9(\cos(t))^{2}+(\sin(t))^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=8(\cos(t))^{2}+1}\)
Liczyłam że wyjdzie z tego okrąg, a tu jakoś nie bardzo i właśnie nie wiem co dalej, proszę o pomoc

[janusz47]

a) Poprawnie
b) \(\displaystyle{ \cos (t) = \frac{x}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin (t) = y}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y{2}}{1^{2}} =1}\)
Elipsa o półosiach długości 3 i 1.

[qwerty286]

Dziękuję bardzo, nie zauważyłam takiej możliwości w drugim. A jeszcze odnośnie pierwszego to w odpowiedziach do tego zadania mam wynik 0 i jest to zrobione w trochę inny sposób, który wydaje mi się prawidłowy i trochę mnie to trapi-- 7 kwi 2013, o 17:13 --\(\displaystyle{ z _{n}= \frac{ni+ 2^{n} }{3in+5 ^{n} }= ( \frac{2}{5} )^{n} \frac{ \frac{n}{2^{n}}i+1 }{ \frac{3n}{5^{n}}i+1 } \rightarrow 0}\)
Tak jest w odpowiedziach

[janusz47]

Sorry!
W liczniku \(\displaystyle{ z_{n}}\) mamy \(\displaystyle{ -10^{n} - 3n^{2}+i(3n2^{n} - n5^{n})}\)

[qwerty286]

Chyba jeszcze znaki w mianowniku pomyliłam, ale to i tak nie będzie zerem?

[janusz47]

\(\displaystyle{ z_{n} =\frac{2^{n} +in}{5^{n}+3in}= \frac{(2^{n}+in)(5^{n}-3in)}{5^{2^n}-9n^{2}}= \frac{10^{n}+3n^{2}-i(5^{n}n + 3n2^{n})}{25^{n}-9n^{2}}=\frac{10^{n}+3n^2}{25^{n}-9n^{2}}-i\frac{5^{n}n +2^{n}3n}{25^{n} - 9n^{2}}\rightarrow 0,}\)
gdy \(\displaystyle{ n\rightarrow \infty.}\)

[qwerty286]

Ok dzięki jeszcze raz, już wiem że wcześniej źle obliczyłam