znaleźć rozwiązanie

[leszczu450]

Jak poradzić sobie z takim zadaniem?

1. Znajdź: \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-i}}\)

Nie wiem jak się za to zabrać. Jedyny co przychodzi mi do głowy to ten wzór: \(\displaystyle{ \sqrtn{z}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right),\ k=0,1,...,n-1}\)

Z góry dzięki za pomoc!

[ares41]

Można z tego wzoru.
Należy najpierw zapisać liczbę \(\displaystyle{ -i}\) w postaci trygonometrycznej.

[leszczu450]

\(\displaystyle{ w=0 -1i \\ a=0 , b=-1 \\ \left| w\right| =1 \\ \cos \alpha = 0 \\ \sin \alpha = -1 \\ \alpha = \frac{3\pi}{2} \\ w=\cos\left( \frac{3\pi}{2} \right) + i \sin\left( \frac{3\pi}{2} \right) \\ -i=\cos\left( \frac{3\pi}{2} \right) + i \sin\left( \frac{3\pi}{2} \right)}\)



Co zrobić dalej?

[ares41]

Obliczyć pierwiastki podstawiając do wzoru \(\displaystyle{ \varphi= \frac{3\pi}{2} ,\ n=4}\), i kolejno \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\)

[leszczu450]

\(\displaystyle{ \sqrtn{z}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}\)




Czyli
\(\displaystyle{ \sqrtn{z_{1}}=\sqrt[4]{|z|}\left(\cos\frac{ \frac{3\pi}{2}}{4}+i\sin\frac{ \frac{3\pi}{2}}{4}\right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrtn{z_{2}}=\sqrt[4]{|z|}\left(\cos\frac{ \frac{3\pi}{2} +2\pi}{4}+i\sin\frac{ \frac{3\pi}{2} +2\pi}{4}\right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrtn{z_{3}}=\sqrt[4]{|z|}\left(\cos\frac{ \frac{3\pi}{2} +4\pi}{4}+i\sin\frac{ \frac{3\pi}{2} +4\pi}{4}\right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrtn{z_{4}}=\sqrt[4]{|z|}\left(\cos\frac{ \frac{3\pi}{2} +6\pi}{4}+i\sin\frac{ \frac{3\pi}{2} +6\pi}{4}\right)}\)

A skoro \(\displaystyle{ \left| z\right| =1}\) to :
\(\displaystyle{ \sqrtn{z_{1}}=\left(\cos\left( \frac{3\pi}{8} \right) +i\sin\left( \frac{3\pi}{8} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrtn{z_{2}}=\left(\cos\left( \frac{7\pi}{8} \right) +i\sin\left( \frac{7\pi}{8} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrtn{z_{3}}=\left(\cos\left( \frac{11\pi}{8} \right) +i\sin\left( \frac{11\pi}{8} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrtn{z_{4}}=\left(\cos\left( \frac{15 \pi}{8} \right) +i\sin\left( \frac{15\pi}{8} \right) \right)}\)

Jeszcze powinien tam uprościć te kąty, ale czy wynik jest dobry i tak to się zawsze powinno robić?

[miodzio1988]

uprość kąty i łątwo mozesz sprawdzic czy to są dobre wyniki

[leszczu450]

miodzio1988, a czemu po uproszczeniu będe to lepiej widział, jest jakiś wspólny okres dzięki któremu mogę spodziewać się jaki będzie kolejny kąt?

[miodzio1988]

bo wtedy łatwiej Ci będzie podnieść do czwartej potęgi?

[leszczu450]

miodzio1988, no ale czy to już nie jest koniec teraz? Co mam podnosić jeszcze i do jakiej potęgi?-- 7 kwi 2013, o 13:37 --miodzio1988, i czemu Ty zawsze człowieku tak niemiło odpowiadasz?

[miodzio1988]

Co mam podnosić jeszcze i do jakiej potęgi?

W celu sprawdzenia czy dany \(\displaystyle{ z}\) jest poprawnym rozwiązaniem zgadnij co musisz podnieść i do jakiej potęgi

[leszczu450]

miodzio1988, dzięki wielkie : )

-- 7 kwi 2013, o 14:36 --

A jeśli chodzi o taki przykład: \(\displaystyle{ \sqrt[5]{-1-i}}\)
Kąty w poszczególnych równaniach wychodzą mi takie: \(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{20} , \frac{13\pi}{20}, \frac{21\pi}{20}, \frac{29\pi}{20}, \frac{37\pi}{20}}\)

Czy to dobre rozwiązanie?-- 7 kwi 2013, o 14:51 --Coś mi się kojarzy z zajęć, że kąt który przedstawiam w postaci trygonometrycznej musi być z przedziału od \(\displaystyle{ -\pi}\) do \(\displaystyle{ \pi}\). U mnie tak nie jest.Ani w pierwszym, ani w drugim przykładzie. Co o tym myślicie? To bład przedstawiać w ten sposób?