przedatwić na płaszczyźnie zespolonej

[ares41]

Można w ten sposób.
Wtedy musisz policzyć wartości sinusa i cosinusa tego kąta i porównać je z wartościami dla \(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{4}}\).

Można jednak zrobić to prościej. Zauważać, że \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(t)= \frac{\pi}{4}}\), tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ t}\) leży na prostej \(\displaystyle{ y=x}\), dla \(\displaystyle{ x>0}\).

Oznacza to, że \(\displaystyle{ t}\) musi być postaci \(\displaystyle{ a+ai, \ a>0}\).

Przez podstawienie \(\displaystyle{ z=x+yi}\) otrzymujemy odpowiedź.

[leszczu450]

ares41, ojjj totalnie sie pogubiłem :/ Nic nie rozumiem z tego co napisałeś.

[ares41]

W poprzednim poście miałem kolizję oznaczeń. Już to poprawiłem.
A teraz przechodząc do rozwiązania:

Zauważ, że gdy \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(t)= \frac{\pi}{4}}\) to \(\displaystyle{ t}\) leży na półprostej ( bez początku ), nachylonej pod kątem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) do dodatniej części osi \(\displaystyle{ OX}\).
Oznacza to, że obie współrzędne tego punktu muszą być równe.
Teraz wystarczy więc sprawdzić kiedy obie współrzędne punktu \(\displaystyle{ 2i \cdot z}\) będą równe.

[leszczu450]

ares41, nie rozumiem tego, co to tam leży na tej prostej. Nie mogę tego pojąc na chwile obecna. Ta prosta to jest zbiór punktów dla których argument głowny równa się \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) ?

[ares41]

Dokładniej - półprosta bez początku ( otwarte kółeczko w zerze ).

[leszczu450]

ares41, ok chyba już zaczynam to rozumieć : )
W takim razie, muszę wyliczyć to \(\displaystyle{ a}\) ?

[ares41]

Litery \(\displaystyle{ a}\) użyłem tylko do zaznaczenia, że obie współrzędne muszą być równe.

Musimy więc policzyć \(\displaystyle{ 2i \cdot z=2i(x+yi)=-2y+2xi}\).
I teraz ze względu na powyższe rozważania musi zachodzić \(\displaystyle{ -2y=2x}\) oraz obie współrzędne muszą być dodatnie, tj. \(\displaystyle{ -2y>0}\) oraz \(\displaystyle{ 2x>0}\) (bo ta półprosta leży w I ćwiartce ).

[leszczu450]

Czyli \(\displaystyle{ -2y=2x \\ -y=x}\)

A skoro \(\displaystyle{ -2y >0}\) to \(\displaystyle{ -y>0}\)
Czyli to po prostu będzie prosta \(\displaystyle{ y=x}\) w pierwsej ćwiartce i tak jak mówiłeś wcześniej , bez punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\). Dobrze mówię?

[ares41]

Sprawdź jeszcze raz. Sam napisałeś w drugiej linijce jaka to będzie prosta.

[leszczu450]

ares41, a Ty post temu w nawiasie też napisałeś, że to będzie się działo wszystko w pierwszej ćwiartce . Już się troche gubie : )

[ares41]

W pierwszej ćwiartce będą leżały punkty postaci \(\displaystyle{ z \cdot 2i}\). My natomiast szukamy punktów \(\displaystyle{ z}\).

[leszczu450]

Ehh... ares41, szczerze mówiąc troche się gubie. Nie wiem do końca co ja mam policzyć. Możemy jakoś na chwile się zatrzymać i po kolei powiedzieć sobie co tak naprawdę się dzieje, czego ja szukam i co mam narysować?

[ares41]

Ok.
To od początku.
Mamy równanie \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(2iz)= \frac{\pi}{4}}\)
Wiemy, że równanie typu \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(t)= \frac{\pi}{4}}\) spełniają takie punkty \(\displaystyle{ t}\), których obie współrzędne są równe oraz obie są dodatnie. ( I ćwiartka ).
Zatem wiemy, że obie współrzędne liczby \(\displaystyle{ 2iz}\) muszą być równe i dodatnie.
Podstawiając \(\displaystyle{ z=x+y}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 2iz=2i(x+yi)=-2y+2xi}\).
Więc spełnione muszą być warunki :
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2y=2x\\ -2y>0 \\2x>0\end{cases}}\).
Stąd dostajemy rozwiązanie.

[leszczu450]

ares41, i wychodzi nam, że \(\displaystyle{ y=-x}\). Czyli ta prosta zawiera wszystkie takie iksy i takie igreki, że zachodzi wyjściowy warunek, tak?

[ares41]

Tak, ale niecała. Zostają nam jeszcze dwa warunki :
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2y>0 \\2x>0\end{cases}}\)