przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
Cześć : )
Zadanie jak w temacie :
\(\displaystyle{ z + \overline{z} = re(z)}\)
Wyliczyłem, że \(\displaystyle{ re(z)=2a}\)
Ale nie wiem jak to mam narysować. Zrobić sobie układ współrzędnych i na poziomej osi dać \(\displaystyle{ Re(z)}\), na pionowej \(\displaystyle{ Im(z)}\) i jak narysować \(\displaystyle{ 2a}\)? Tak jak funkcję \(\displaystyle{ y=2x}\)?
Z góry dzięki za pomoc!
Zadanie jak w temacie :
\(\displaystyle{ z + \overline{z} = re(z)}\)
Wyliczyłem, że \(\displaystyle{ re(z)=2a}\)
Ale nie wiem jak to mam narysować. Zrobić sobie układ współrzędnych i na poziomej osi dać \(\displaystyle{ Re(z)}\), na pionowej \(\displaystyle{ Im(z)}\) i jak narysować \(\displaystyle{ 2a}\)? Tak jak funkcję \(\displaystyle{ y=2x}\)?
Z góry dzięki za pomoc!
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
\(\displaystyle{ z + \overline{z} = \mathrm{Re}(z)}\)
Lewa strona to, tak jak zauważyłeś, \(\displaystyle{ 2 \cdot \mathrm{Re}(z)}\)
Równanie przyjmuje więc postać \(\displaystyle{ 2\mathrm{Re}(z)=\mathrm{Re}(z)}\), czyli po uproszczeniu : \(\displaystyle{ \mathrm{Re}(z)=0}\).
A to już jest łatwe do narysowania.
Lewa strona to, tak jak zauważyłeś, \(\displaystyle{ 2 \cdot \mathrm{Re}(z)}\)
Równanie przyjmuje więc postać \(\displaystyle{ 2\mathrm{Re}(z)=\mathrm{Re}(z)}\), czyli po uproszczeniu : \(\displaystyle{ \mathrm{Re}(z)=0}\).
A to już jest łatwe do narysowania.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
Czyli muszę narysować po prostu prostą \(\displaystyle{ x=0}\) tak?
-- 6 kwi 2013, o 23:32 --
ares41, a jak poradzić sobie z takim zadaniem:
\(\displaystyle{ z= Re(z) + Im(\overline{z})}\)
Ja robię to tak:
\(\displaystyle{ z= x + yi \\ \overline{z}=x - yi \\ Re(z)=x \\ Im(\overline{z})= -y \\ x + yi = x-y \\ y = yi}\)
Zupełnie nie wiem czy to co napisałem ma sens, a jeśli ma to jak to narysować? : )
-- 6 kwi 2013, o 23:32 --
ares41, a jak poradzić sobie z takim zadaniem:
\(\displaystyle{ z= Re(z) + Im(\overline{z})}\)
Ja robię to tak:
\(\displaystyle{ z= x + yi \\ \overline{z}=x - yi \\ Re(z)=x \\ Im(\overline{z})= -y \\ x + yi = x-y \\ y = yi}\)
Zupełnie nie wiem czy to co napisałem ma sens, a jeśli ma to jak to narysować? : )
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
1) Tak.
2)
\(\displaystyle{ -y = yi \\
(1+i)y=0\\
y=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ z}\) jest liczbę rzeczywistą. ( Zresztą było to już widać z pierwszej linijki - prawa strona jest zawsze rzeczywista ).
2)
\(\displaystyle{ -y = yi \\
(1+i)y=0\\
y=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ z}\) jest liczbę rzeczywistą. ( Zresztą było to już widać z pierwszej linijki - prawa strona jest zawsze rzeczywista ).
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
ares41, nie rozumiem ostatniego przejscia. Jak sie pozbyłeś tego nawiasu?
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
ares41, no jasne! Boże, zgłupiałem do reszty : )
A powiedz mi jak sobie poradzić z takim przykładem:
\(\displaystyle{ \overline{z}=z^2}\)
A powiedz mi jak sobie poradzić z takim przykładem:
\(\displaystyle{ \overline{z}=z^2}\)
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
Standardowo - przed podstawienie \(\displaystyle{ z=x+yi}\), a następnie porównujemy części rzeczywiste i urojone obu stron równania.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
Wychodzi mi taki układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 - y^2 =x \\ y= 2xy \end{cases}}\)
Z drugiego równania mam:
\(\displaystyle{ 2xy - y =0 \\ y(2x-1)= 0}\)
Więc albo \(\displaystyle{ y=0}\) albo \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\)
Ale dla \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\) nie znajduje żadnego \(\displaystyle{ y}\) .
A dla \(\displaystyle{ y=0}\) mam \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ x=1}\)
Czy to jest poprawnie zrobione?
Chyba trochę głupot powypisywałem. Teraz wyznaczyłem z pierwszego równania, że \(\displaystyle{ y= \pm \sqrt{x^2 -x}}\). I wstawiając to do drugiego równania i eliminując sprzeczne rozwiązania otrzymałem takie coś: Dla \(\displaystyle{ x=0 , y=0}\) , dla \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{2}, y= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) , dla \(\displaystyle{ x=1, y=0}\), dla \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{2}, y=- \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) i to chyba wszystkie rozwiązania : )
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 - y^2 =x \\ y= 2xy \end{cases}}\)
Z drugiego równania mam:
\(\displaystyle{ 2xy - y =0 \\ y(2x-1)= 0}\)
Więc albo \(\displaystyle{ y=0}\) albo \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\)
Ale dla \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\) nie znajduje żadnego \(\displaystyle{ y}\) .
A dla \(\displaystyle{ y=0}\) mam \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ x=1}\)
Czy to jest poprawnie zrobione?
Chyba trochę głupot powypisywałem. Teraz wyznaczyłem z pierwszego równania, że \(\displaystyle{ y= \pm \sqrt{x^2 -x}}\). I wstawiając to do drugiego równania i eliminując sprzeczne rozwiązania otrzymałem takie coś: Dla \(\displaystyle{ x=0 , y=0}\) , dla \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{2}, y= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) , dla \(\displaystyle{ x=1, y=0}\), dla \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{2}, y=- \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) i to chyba wszystkie rozwiązania : )
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
Układ powinien wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 - y^2 =x \\ \color{red}-\color{black}y= 2xy \end{cases}}\),
a to dlatego, że po uproszczeniu równanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ x-yi=x^2+2xyi-y^2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 - y^2 =x \\ \color{red}-\color{black}y= 2xy \end{cases}}\),
a to dlatego, że po uproszczeniu równanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ x-yi=x^2+2xyi-y^2}\)
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
ares41, ok ares, ale mimo wszystko wyniki będą podobne tylko gdzieś tam pewnie kilka rzeczy sie zmieni, kwestia wylieczenia poprawnego. Ale będą to punkty, tak?-- 7 kwi 2013, o 00:47 --ares41, teraz sobie z takim czymś nie umiem poradzić:
\(\displaystyle{ \left| z\right| <2}\) i \(\displaystyle{ Arg(z)> \frac{2 \pi}{3}}\)
Nie wiem co to jest ten \(\displaystyle{ Arg(z)}\) i jak się go interpretuje geometrycznie .
\(\displaystyle{ \left| z\right| <2}\) i \(\displaystyle{ Arg(z)> \frac{2 \pi}{3}}\)
Nie wiem co to jest ten \(\displaystyle{ Arg(z)}\) i jak się go interpretuje geometrycznie .
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
Tak. Powinny wyjść cztery punkty.
A co do kolejnego zadania :
\(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z)}\) to tzw. argument główny liczby zespolonej.
Jeżeli \(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi +i \sin \varphi )}\) to \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z)=\varphi}\), gdy \(\displaystyle{ \varphi\in\langle0,2\pi)}\)
A co do kolejnego zadania :
\(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z)}\) to tzw. argument główny liczby zespolonej.
Jeżeli \(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi +i \sin \varphi )}\) to \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z)=\varphi}\), gdy \(\displaystyle{ \varphi\in\langle0,2\pi)}\)
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
Te 4 punkty to :
\(\displaystyle{ \left( 0,0\right) \\ \left( 1,0\right) \\ \left( - \frac{1}{2}, \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) \\ \left( - \frac{1}{2}, - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)}\)
A co do kolejnego zadania no to pierwszy warunek jest logiczny. Wychodzi mi, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2 \le 2}\). A co z tym argumentem?
\(\displaystyle{ \left( 0,0\right) \\ \left( 1,0\right) \\ \left( - \frac{1}{2}, \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) \\ \left( - \frac{1}{2}, - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)}\)
A co do kolejnego zadania no to pierwszy warunek jest logiczny. Wychodzi mi, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2 \le 2}\). A co z tym argumentem?
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
1) Punkty się zgadzają.
2) Narysuj sobie kąt skierowany o mierze \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\), którego pierwszym ramieniem jest dodatnia część osi \(\displaystyle{ OX}\). Rozwiązaniem \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z)> \frac{2 \pi}{3}}\) będą te punkty, które leżą "na zewnątrz" zaznaczonego kąta.
2) Narysuj sobie kąt skierowany o mierze \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\), którego pierwszym ramieniem jest dodatnia część osi \(\displaystyle{ OX}\). Rozwiązaniem \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z)> \frac{2 \pi}{3}}\) będą te punkty, które leżą "na zewnątrz" zaznaczonego kąta.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
przedatwić na płaszczyźnie zespolonej
Wielkie dzięki ares41 !
Jeszcze mam problem w takim przykładem:
\(\displaystyle{ Arg(z \cdot 2i)= \frac{\pi}{4}}\)
-- 7 kwi 2013, o 11:20 --
\(\displaystyle{ z= x + iy \\ z \cdot 2i = -2y + 2xi}\)
Teraz wydaje mi się, że muszę tę liczbę zespoloną: \(\displaystyle{ -2y + 2xi}\) przedstawić w postaci trygonometrycznej i już znajdę kąt \(\displaystyle{ \varphi}\). Tylko mam problem z przekssztalceniem tego na tę postać ; /-- 7 kwi 2013, o 11:26 --I czym w ogóle będzie tu rozwiązanie? Prostą, punktem, obszarem ?
Jeszcze mam problem w takim przykładem:
\(\displaystyle{ Arg(z \cdot 2i)= \frac{\pi}{4}}\)
-- 7 kwi 2013, o 11:20 --
\(\displaystyle{ z= x + iy \\ z \cdot 2i = -2y + 2xi}\)
Teraz wydaje mi się, że muszę tę liczbę zespoloną: \(\displaystyle{ -2y + 2xi}\) przedstawić w postaci trygonometrycznej i już znajdę kąt \(\displaystyle{ \varphi}\). Tylko mam problem z przekssztalceniem tego na tę postać ; /-- 7 kwi 2013, o 11:26 --I czym w ogóle będzie tu rozwiązanie? Prostą, punktem, obszarem ?