przedatwić na płaszczyźnie zespolonej

[leszczu450]

Cześć : )

Zadanie jak w temacie :
\(\displaystyle{ z + \overline{z} = re(z)}\)
Wyliczyłem, że \(\displaystyle{ re(z)=2a}\)
Ale nie wiem jak to mam narysować. Zrobić sobie układ współrzędnych i na poziomej osi dać \(\displaystyle{ Re(z)}\), na pionowej \(\displaystyle{ Im(z)}\) i jak narysować \(\displaystyle{ 2a}\)? Tak jak funkcję \(\displaystyle{ y=2x}\)?

Z góry dzięki za pomoc!

[ares41]

\(\displaystyle{ z + \overline{z} = \mathrm{Re}(z)}\)

Lewa strona to, tak jak zauważyłeś, \(\displaystyle{ 2 \cdot \mathrm{Re}(z)}\)
Równanie przyjmuje więc postać \(\displaystyle{ 2\mathrm{Re}(z)=\mathrm{Re}(z)}\), czyli po uproszczeniu : \(\displaystyle{ \mathrm{Re}(z)=0}\).
A to już jest łatwe do narysowania.

[leszczu450]

Czyli muszę narysować po prostu prostą \(\displaystyle{ x=0}\) tak?

-- 6 kwi 2013, o 23:32 --

ares41, a jak poradzić sobie z takim zadaniem:
\(\displaystyle{ z= Re(z) + Im(\overline{z})}\)

Ja robię to tak:
\(\displaystyle{ z= x + yi \\ \overline{z}=x - yi \\ Re(z)=x \\ Im(\overline{z})= -y \\ x + yi = x-y \\ y = yi}\)

Zupełnie nie wiem czy to co napisałem ma sens, a jeśli ma to jak to narysować? : )

[ares41]

1) Tak.

2)
\(\displaystyle{ -y = yi \\
(1+i)y=0\\
y=0}\)

Czyli \(\displaystyle{ z}\) jest liczbę rzeczywistą. ( Zresztą było to już widać z pierwszej linijki - prawa strona jest zawsze rzeczywista ).

[leszczu450]

ares41, nie rozumiem ostatniego przejscia. Jak sie pozbyłeś tego nawiasu?

[ares41]

Podzieliłem sobie stronami przez \(\displaystyle{ 1+i}\).

[leszczu450]

ares41, no jasne! Boże, zgłupiałem do reszty : )

A powiedz mi jak sobie poradzić z takim przykładem:
\(\displaystyle{ \overline{z}=z^2}\)

[ares41]

Standardowo - przed podstawienie \(\displaystyle{ z=x+yi}\), a następnie porównujemy części rzeczywiste i urojone obu stron równania.

[leszczu450]

Wychodzi mi taki układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 - y^2 =x \\ y= 2xy \end{cases}}\)

Z drugiego równania mam:
\(\displaystyle{ 2xy - y =0 \\ y(2x-1)= 0}\)

Więc albo \(\displaystyle{ y=0}\) albo \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\)

Ale dla \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\) nie znajduje żadnego \(\displaystyle{ y}\) .
A dla \(\displaystyle{ y=0}\) mam \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ x=1}\)

Czy to jest poprawnie zrobione?

Chyba trochę głupot powypisywałem. Teraz wyznaczyłem z pierwszego równania, że \(\displaystyle{ y= \pm \sqrt{x^2 -x}}\). I wstawiając to do drugiego równania i eliminując sprzeczne rozwiązania otrzymałem takie coś: Dla \(\displaystyle{ x=0 , y=0}\) , dla \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{2}, y= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) , dla \(\displaystyle{ x=1, y=0}\), dla \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{2}, y=- \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) i to chyba wszystkie rozwiązania : )

[ares41]

Układ powinien wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 - y^2 =x \\ \color{red}-\color{black}y= 2xy \end{cases}}\),
a to dlatego, że po uproszczeniu równanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ x-yi=x^2+2xyi-y^2}\)

[leszczu450]

ares41, ok ares, ale mimo wszystko wyniki będą podobne tylko gdzieś tam pewnie kilka rzeczy sie zmieni, kwestia wylieczenia poprawnego. Ale będą to punkty, tak?-- 7 kwi 2013, o 00:47 --ares41, teraz sobie z takim czymś nie umiem poradzić:
\(\displaystyle{ \left| z\right| <2}\) i \(\displaystyle{ Arg(z)> \frac{2 \pi}{3}}\)

Nie wiem co to jest ten \(\displaystyle{ Arg(z)}\) i jak się go interpretuje geometrycznie .

[ares41]

Tak. Powinny wyjść cztery punkty.

A co do kolejnego zadania :
\(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z)}\) to tzw. argument główny liczby zespolonej.
Jeżeli \(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi +i \sin \varphi )}\) to \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z)=\varphi}\), gdy \(\displaystyle{ \varphi\in\langle0,2\pi)}\)

[leszczu450]

Te 4 punkty to :
\(\displaystyle{ \left( 0,0\right) \\ \left( 1,0\right) \\ \left( - \frac{1}{2}, \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) \\ \left( - \frac{1}{2}, - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)}\)

A co do kolejnego zadania no to pierwszy warunek jest logiczny. Wychodzi mi, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2 \le 2}\). A co z tym argumentem?

[ares41]

1) Punkty się zgadzają.

2) Narysuj sobie kąt skierowany o mierze \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\), którego pierwszym ramieniem jest dodatnia część osi \(\displaystyle{ OX}\). Rozwiązaniem \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z)> \frac{2 \pi}{3}}\) będą te punkty, które leżą "na zewnątrz" zaznaczonego kąta.

[leszczu450]

Wielkie dzięki ares41 !

Jeszcze mam problem w takim przykładem:
\(\displaystyle{ Arg(z \cdot 2i)= \frac{\pi}{4}}\)

-- 7 kwi 2013, o 11:20 --

\(\displaystyle{ z= x + iy \\ z \cdot 2i = -2y + 2xi}\)
Teraz wydaje mi się, że muszę tę liczbę zespoloną: \(\displaystyle{ -2y + 2xi}\) przedstawić w postaci trygonometrycznej i już znajdę kąt \(\displaystyle{ \varphi}\). Tylko mam problem z przekssztalceniem tego na tę postać ; /-- 7 kwi 2013, o 11:26 --I czym w ogóle będzie tu rozwiązanie? Prostą, punktem, obszarem ?