równanie w zbiorze liczb zespolonych

[leszczu450]

Tak jak w temacie, mam rozwiązać te równania w zbiorze liczb zespolonych

1. \(\displaystyle{ \overline{z}z + \left( z - \overline{z}\right)^2 = 3 + 2i}\)
2. \(\displaystyle{ \left| z+1\right| + \left| z-1\right| =2}\)


Jeśli chodzi o pierwsze zadanie to doszedłem do takiego czegoś:
\(\displaystyle{ z = a + bi \\ \overline{z}= a - bi \\ z \overline{z} = a^2 + b^2 \\ \left( z - \overline{z}\right)= 2bi}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 - 4b^2 = 3 +2i \\ a^2 - 3b^2 = 3 + 2i}\)

I dalej nie umiem

Z góry dzięki za pomoc!

[chris_f]

To pierwsze nie ma rozwiązań, bo dla wszystkich \(\displaystyle{ z}\) lewa strona jest "czysto" rzeczywista, a po prawej występuje część urojona.

W drugim można od razu wykorzystać własności geometryczne: rozwiązaniem są wszystkie liczby zespolone, których suma odległości od liczb \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) jest stała i wynosi \(\displaystyle{ 2}\). Te liczby leżą oczywiście na elipsie o ogniskach w tych punktach.
Algebraicznie podstawiasz \(\displaystyle{ z=x+iy}\), dostajesz
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}=2}\)
No i tu sporo rachunków (raczej męczących niż trudnych) i trzeba dojść do równania kanonicznego elipsy.

[leszczu450]

chris_f, dzięki wielkie! Nie rozumiem tylko jak geometrycznie to przedstawic? W ogóle nie jestem w stanie tego narysowac : )

[chris_f]

Aaa, tu wyjdzie zdegenerowana elipsa, bo odległość między ogniskami, czyli punktami \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\), czyli tyle co po prawej stronie i elipsa zredukuje się do odcinka, ale to wyjdzie z rachunków.
To algebraicznie:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}=2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+1)^2+y^2}=2-\sqrt{(x-1)^2+y^2}\quad \Big|^2}\)
\(\displaystyle{ (x+1)^2+y^2=4-4\sqrt{(x-1)^2+y^2}+(x-1)^2+y^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x+1+y^2=4-4\sqrt{(x-1)^2+y^2}+x^2-2x+1+y^2}\)
\(\displaystyle{ 4\sqrt{(x-1)^2+y^2}=4-4x}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2+y^2}=1-x}\)quadBig|^2[/latex]
\(\displaystyle{ (x-1)^2+y^2=1-2x+x^2}\)
\(\displaystyle{ x^2-2x+1+y^2=1-2x+x^2}\)
\(\displaystyle{ y^2=0}\)
\(\displaystyle{ y=0}\)
Stąd widać, że rozwiązania będą leżały na osi \(\displaystyle{ ox}\), trzeba jeszcze ustalić jak może zmieniać się \(\displaystyle{ x}\). Gdy \(\displaystyle{ y=0}\), to równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{(x-1)^2}=2}\)
\(\displaystyle{ |x+1|+|x-1|=2}\)
Rozwiązując to równanie (choćby rozważając przypadki \(\displaystyle{ x<-1\vee -1\le x\le1\vee x>1}\) dostaniemy
\(\displaystyle{ -1\le x\le1}\).
Ostatecznie rozwiązanie tego równania tworzą liczby zespolone leżące na odcinku od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\), co inaczej można zapisać
\(\displaystyle{ \Re z\in[-1,1],\quad \Im z=0}\).

PS. Gdyby po prawej stronie była liczba większa od \(\displaystyle{ 2}\), to wtedy mielibyśmy już elipsę o ogniskach w tych dwóch punktach, np. taką (to jest gdyby ta suma odległości wynosiła \(\displaystyle{ 4}\)

AU

42681698108723266015_thumb.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 75 razy

[/url]
Wtedy równanie tej elipsy to było by
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\)

[leszczu450]

Dzięki wielkie za pomoc!