postac algebraiczna na trygonometryczna

[leszczu450]

Cześć : )

Mam przedstawić tę liczbę w postaci trygonometrycznej i w ogóle nie wiem jak się za to zabrać!

\(\displaystyle{ z= \left( 1 + i \ctg\left( 240^{\circ} \right) \right)^{99}}\)

Nie wiem jak wpisać w Latexie stopnie przy danym kącie więc troche improwizuje : )

Z góry dzięki za pomoc!

[miodzio1988]

Wzór de Moivre'a

[leszczu450]

miodzio1988, no ale najpierw musi być postać trygonometryczna. A nie wiem jak to zamienić.

-- 6 kwi 2013, o 19:22 --

+ miodzio1988, nie musisz mi mówić, że wzór de Moivre'a. To widać na pierwszy rzut oka : ) Takie posty nic nie dają, a jedynie przedłużają proces komunikowania się i wzajemnej pomocy. Mimo wszystko i tak jestem Ci bardzo wdzięczny za dobre chęci

[miodzio1988]

no to jak wiesz, że potrzebna jest postac tryg to czemu od tego nie zaczniesz? Czemu sam nie zaczniesz czegos liczyc' ?

[leszczu450]

miodzio1988, więc przedstawie Ci co już zrobiłem i gdzie mam problem : )

\(\displaystyle{ x= \left( 1 + i \ctg\left( 240^o\right) \right) = \left( 1 + i \ctg\left( \frac{4 \pi}{3} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ a= 1 \\ b = \ctg\left( \frac{4 \pi}{3} \right) \\ \left| x\right|= \sqrt{1 + \ctg\left( \frac{4 \pi}{3} \right) }= \frac{1}{\sin\left( \frac{4 \pi}{3} \right) }}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \alpha = \sin\left( \frac{4 \pi}{3} \right) \\ \sin \alpha = \frac{\ctg\left( \frac{4 \pi}{3} \right) }{ \frac{1}{\sin\left( \frac{4 \pi}{3} \right) } } = \cos \left( \frac{4 \pi}{3} \right) \end{cases}}\)

I w sumie jeśli znalazłbym teraz \(\displaystyle{ \alpha}\), podstawił do wzoru to bym to skończył. Ale nie umiem wyliczyć tego kąta...

[ares41]

Sprawdź jeszcze raz moduł.

[Dasio11]

Żeby zachodziło

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \cos \beta \\
\cos \alpha = \sin \beta,}\)

wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{2} - \beta.}\)

Jeśli w równościach, które mają zachodzić, dojdą jakieś minusy, to trzeba się będzie więcej pobawić z szukaniem kąta, ale znów wyjdzie ze wzorów redukcyjnych.

[leszczu450]

Dasio11, wiesz to dzięki wzorem redukcyjnym i dzięki temu, że przy przekształceniach przez \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} , \frac{3 \pi}{2}}\) funkcja zamienia się w konfunkcję? Czy jakoś to się wylicza formalnie?

[Dasio11]

Znany wzór

\(\displaystyle{ \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha,}\)

można przekształcić do postaci

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right),}\)

a z tych dwóch wynika to, co napisałem.

[leszczu450]

Dasio11, ok dziękie wielkie! Myślę, że już sobie poradzę z takimi przykładami !