Mam takie zadanko:
Wyznaczyć \(\displaystyle{ f(z)}\) holomorficzną, jeśli jej część urojona:
\(\displaystyle{ v(x,y)= 3x^{2} - 4y - 3y{2}}\)
Rozwiązywałam je kilka razy i cały czas gdzieś popełniam błąd (ewentualnie jest błąd w książce). Mógłby ktoś rozwiać moje wątpliwości?
Liczę pochodną \(\displaystyle{ v'y=-4-6y=u'x \Rightarrow u= \int(-4-6y)dx=-4-6xy+C(y)}\)
Liczę pochodną \(\displaystyle{ -v'x=-6x=u'y=-6x+C'(y) \Rightarrow C(y)= \int(0)dx=C}\)
Czyli: \(\displaystyle{ u(x,y)=-4x-6xy+C}\) i mam \(\displaystyle{ f(z)=-4x-6xy+C+(3x^{2}-4y-3y^{2})i}\)
Podstawiam: \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}(z+ \overline z)}\) oraz \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2i}(z- \overline z)}\)
\(\displaystyle{ f(z)=-4 \cdot \frac{1}{2}(z+ \overline z) -6 \cdot \frac{1}{2}(z+ \overline z )\cdot\frac{1}{2i}(z-\overline z)+C+(3\cdot\frac{1}{4}(z+\overline z)^{2}}-4\cdot\frac{1}{2i}(z-\overline z)-\frac{3}{4(i)^{2}}(z-\overline z)^{2})=-2z-2\overline z +\frac{3}{2}i(z^{2}-\overline z^{2})+C+(\frac{3}{4}(z^{2}+2z\overline z +\overline z^{2})+2iz-2i\overline z +\frac{3}{4}(z^{2}-2z\overline z +\overline z^{2}))i=-2z-2\overline z +\frac{3}{2}iz^{2}-\frac{3}{2}i \overline z ^{2}+\frac{3}{4}iz^{2}+\frac{3}{2}z\overline z i+\frac{3}{4}iz^{2}-2z+2\overline z +\frac{3}{4}z^{2}i-\frac{3}{2}z\overline z i+\frac{3}{4}\overline z^{2}i+C=-4z+3iz^{2}+C}\)
A w odpowiedzi jest, że \(\displaystyle{ f(z)=-2z+3iz^{2}+C}\)