Holomorficzność funkcji zespolonej

[The Sun]

Mam takie zadanie:
W jakim obszarze holomorficzna jest funkcja:
\(\displaystyle{ f(z)=\ln z=\ln |z|+i \arg z(\mathrm{re} \, z>0, \mathrm{im} \, z>0}\)
Byłabym wdzięczna, gdyby ktoś dał mi jakąś wskazówkę jak przejść na funkcję zależną od x i y. Dalej z równań Cauchy'ego -Riemanna sobie sprawdzę holomorficzność, tylko nie wiem jak ruszyć to \(\displaystyle{ \arg z.}\)

[mechatronik300]

może przejście na postać trygonometryczną coś tu da...

[The Sun]

Udało mi się rozwiązać.Napiszę rozwiązanie. Może komuś się przyda.
\(\displaystyle{ f(z)=\ln {\sqrt{x ^{2} + y^{2}} } + i\arctan \frac{y}{x}}\)

[norwimaj]

To jest funkcja odwrotna do funkcji \(\displaystyle{ z\mapsto e^z}\) określonej na zbiorze \(\displaystyle{ \left\{z\in\mathbb{C}:0<\mathrm{Im}(z)<\frac{\pi}2\right\}}\). Można skorzystać z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej.