W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania.

[8ball]

Witam,
mam problem z tymi przykładami:
\(\displaystyle{ z ^{2} =4\vec{z}}\)

\(\displaystyle{ z ^{2} -4z+13=0}\)

W pierwszym przykładzie prosiłbym o jakąś wskazówkę, bo nie wiem jak się za to zabrać. W drugim wydaje mi się, że trzeba po prostu policzyć deltę, zgadza się?

[mechatronik300]

\(\displaystyle{ z=0 \Leftrightarrow Rez=0 \wedge Imz=z}\)
\(\displaystyle{ z=(x+iy)}\)
Zamień zety jak napisałem wyżej pamiętając że \(\displaystyle{ 13=13+0i}\) zapisz \(\displaystyle{ Rez}\) oraz \(\displaystyle{ Imz}\) stwórz układ równań i wylicz \(\displaystyle{ x_{0}}\) i \(\displaystyle{ y _{0}}\)
W obu przypadkach. Z tym że w tym pierwszy jest chyba sprzężenie czyli \(\displaystyle{ z=x-iy}\)

[yorgin]

Pierwsze można rozwiązać bardzo łatwo przechodząc na postać wykładniczą:

\(\displaystyle{ z=re^{i\phi}}\)

z której natychmiast wyniknie, że \(\displaystyle{ r=2}\). Pozostaje kąt.

[8ball]

Co do pierwszego to próbuję inną drogą, bo sposób z kątem mnie trochę przerasta:
\(\displaystyle{ z ^{2}=4 \vec{z}}\)

\(\displaystyle{ z=x+yi}\)

\(\displaystyle{ (x+yi) ^{2} =4(x-yi)}\)

\(\displaystyle{ x ^{2}+2xyi-y ^{2}=4x-4yi}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} -y ^{2}-4x+(2xy+4y)i}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} -y ^{2} -4x=0 \\ 2xy+4y=0 \end{cases}}\)

...i teraz nie wiem jak ten układ rozwiązać.

edit:
Co do drugiego przykładu spróbowałem w ten sposób:

\(\displaystyle{ z ^{2} -4z+13=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=16-4(1 \cdot 13)}\)

\(\displaystyle{ \Delta=16-52}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=+/-6i}\)

\(\displaystyle{ z _{1} = \frac{4+6i}{2}=2-3i}\)

\(\displaystyle{ z _{2}=2+3i}\)

Dobrze to jest?

[mechatronik300]

Tak dobrze. Podałem ci sposób rozwiązania najbardziej ogólny ten z argumentem jest szybszy ale można łatwo zrobić błąd. w pierwszym wyznacz z jednego y i wstaw do drugiego

[kitt94]

Co do tego przykładu mam pytanie:

\(\displaystyle{ z ^{2} =4\vec{z}}\)

Wyniki wychodzą mi dobrze, ale tylko połowicznie. Otóż, przy obliczaniu tego równania metodą porównywania współczynników wychodzą mi dwa rozwiązania, prawidłowe oczywiście. Natomiast wg. klucza odpowiedzi, oprócz dwóch liczb w postaci a + bi, prawidłowe są także dwie liczby stricte rzeczywiste - 0 oraz 4.

Faktycznie, ma to sens, bo po podstawieniu w rozpisane równanie, zachodzi równość. Moje pytanie brzmi jednak: czy da się to udowodnić w jakiś konkretny sposób, czy po prostu patrząc na początkowe równanie trzeba się tego domyślić? Mam nadzieję, że jasno wyraziłem swoją myśl.

Pozdrawiam!

[a4karo]

Drugie równanie w układzie równań to \(\displaystyle{ 2xy+4y=0}\). Pamiętaj że \(\displaystyle{ x=-2}\) nie jest jedynym rozwiązaniem tego równania.

[kitt94]

Ah, jasne! Dzięki, już mi się wszystko poukładało!