Oblicz pierwiastek z liczby zespolonej.

[Spens13]

Witam, otóż mam taki przykład:

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-2- 2\sqrt{3}i}}\)

Robię to tak:

\(\displaystyle{ \left|z\right|=4}\)
\(\displaystyle{ \cos=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ w_{0}=\sqrt[4]{4}\left(\cos \frac{-\frac{\pi}{3}+2\cdot0\cdot\pi}{4}+i\sin \frac{-\frac{\pi}{3}+2\cdot0\cdot\pi}{4} \right)=\sqrt[4]{4}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right]}\)

I tu pojawia się problem, co zrobić w sytuacji gdy wynik mam \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\)?

[chris_f]

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\) nie jest problemem, bo jest to połówka kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\), tylko zastanawia mnie, skąd dostałeś wynik \(\displaystyle{ |z|=4}\)?

[Spens13]

Źle przepisałem przykład

Powinno być:

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-2- 2\sqrt{3}i}}\)

A w odpowiedziach mam dla \(\displaystyle{ w_{0}}\):
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{4}\left( \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)}\), więc jak dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\), a nie dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\).

[chris_f]

Jeżeli mamy
\(\displaystyle{ \begin{array}{c}
\underbrace{\cos\varphi=-\frac12,\quad \sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\
\Downarrow\\
\varphi=\frac{4\pi}{3}
\end{array}}\)
No i po prostu masz źle policzony argument. Jak wstawisz ten prawidłowy, to wszystko powinno wyjść OK.