Nierówność z wartością bezwzględną na liczbach zespolonych

[yahu55]

Kolokwium się zbliża, a ja niestety mam problem z takim oto przykładem:

Wyznaczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów spełniających warunek:
\(\displaystyle{ \left| z-( \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2} i ) ^{18} \right| \le \left| 3-4i\right|}\)

Próbowałem rozgryźć to tak, że upraszczałem to wyrażenie ile się dało - czyli pozbyłem się potęgi, i doszedłem do postaci:

\(\displaystyle{ \left| z-1\right| \le \left| 3-4i\right|}\)

i tutaj już kompletnie zgłupiałem i nie wiem co zrobić (nawet jak podstawiałem za \(\displaystyle{ z}\) -\(\displaystyle{ x+yi}\))

Proszę o jakąś sugestie jak ugryźć to zadanie.
Dysponuję też odpowiedzią podaną przez naszą matematyczkę: Koło o śr. w \(\displaystyle{ (-1,0)}\) i \(\displaystyle{ r=5}\).

[ares41]

Raczej \(\displaystyle{ \left| z+1\right| \le \left| 3-4i\right|}\)
Policz moduł prawej strony i masz rozwiązanie.

[yahu55]

Dzięki, to było prostsze niż myślałem

Jakkolwiek nie mogę się doszukać tego błędu ze znakiem, tak wyprowadziłem lewą stronę:

\(\displaystyle{ \left| z-( \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2} i ) ^{18} \right|
=\left| z - e ^{ \frac{ \pi }{3} *18* i} \right| = \left| z - (cos6 \pi + isin6 \pi )\right| = \left| z - (1 + 0)\right| = \left|z - 1 \right|}\)

Gdzie robię błąd?

[ares41]

Argumentem liczby zespolonej jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)

[yahu55]

Co za głupi błąd, dzięki jeszcze raz za pomoc