Odwzorowanie - Inwersja - jaki kąt?

[panisiara]

Witajcie,
Mam proste zadanie z odwzorowań konforemnych. Chcę zrozumieć jak przekształca się argumenty, bo nijak nie chce to wyjść (poza "na czuja, że będzie odwrotnie").

Mam obszar \(\displaystyle{ D={z: 0<|z|<1 \wedge 0<Im z<\pi}}\)
Czyli półkole bez brzegów o środku w początku układu współrzędnych, promieniu 1, położone w III i IV ćwiartce.

Przekształcenie to inwersja, opisana jako \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{z}}\)

Czyli :\(\displaystyle{ w=\frac{1}{z} \Rightarrow z=\frac{1}{w}}\)
Podstawiam do pierwszej nierówności (określającej promień koła)
\(\displaystyle{ |\frac{1}{w}|<1 \Rightarrow |w|>1}\) czyli "promień" będzie większy od 1, aż po nieskończoność.

Próbowałam to samo zrobić z argumentem, ale nie wiem jak.
Proszę bardzo o podobne rozpisanie - co zrobić, gdzie podstawić i jaką postać.


Pozdrawiam

Ps. wynik znam, tylko dlaczego tak zachowa nam się argument?

[norwimaj]

Czyli półkole bez brzegów o środku w początku układu współrzędnych, promieniu 1, położone w III i IV ćwiartce.

A nie w I i II ćwiartce?

Przekształcenie to inwersja, opisana jako \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{z}}\)

Nie jest to inwersja. Inwersją jest \(\displaystyle{ z\mapsto\frac1{\overline{z}}}\).

Próbowałam to samo zrobić z argumentem, ale nie wiem jak.

Jeśli liczba \(\displaystyle{ z}\) ma argument \(\displaystyle{ \varphi}\), to jaki argument ma \(\displaystyle{ \frac1z}\)?

[panisiara]

Pomyłka w zapisie: Miało być to kłopotliwe \(\displaystyle{ -\pi<arg z<0}\)

i argument będzie wtedy \(\displaystyle{ 1/\phi}\) , to wiem. Ale jak tą wartość podstawiam wprost do nierówności, to jest wynik trochę bez sensu.
Czy się mylę?

[norwimaj]

Czyli na przykład liczba \(\displaystyle{ \frac1i}\) ma argument \(\displaystyle{ \frac2{\pi}}\)?

[panisiara]

Wychodzi mi , że \(\displaystyle{ \phi> - \frac{1}{\pi}}\) i po drugiej stronie nierówności sprzeczność (1<0).
A powinien wyjść wynik, taki jak w inwersji czyli te kąty odwrotnie - między 0, a \(\displaystyle{ \pi}\), tak jak przez pomyłkę napisałam w pierwszym poście.

Proszę o pomoc, bo nie mam żadnego przykładu jak sobie poradzić z tym argumentem.

[norwimaj]

Czyli na przykład liczba \(\displaystyle{ \frac1i}\) ma argument \(\displaystyle{ \frac2{\pi}}\)?

To mnie nadal ciekawi, a nie dostałem odpowiedzi.