zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór okreslony danym warunkiem:

[kkate559]

\(\displaystyle{ \left\{ Z: \left| \frac{z+1}{z-1} \right| < 2 \right\}}\)

dalej:

\(\displaystyle{ \left|z + 1 \right| < 2 \cdot \left| z-1\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| z+1\right| ^{2} < 4 \cdot \left| z-1\right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (z+1) \cdot (\overline{z} +1) < 4 \cdot (z - 1) \cdot (\overline{z}-1)}\)

nie rozumiem ostatniej linijki. wiem, ze korzystam z wlasnosci:

\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} = z \cdot \overline{z}}\)

ale dlaczego nie zmieniaja sie znaki? moglby mi to ktos jasniej rozpisac? wyjasnic?

[mechatronik300]

\(\displaystyle{ z=x+iy}\) i tu sie zmienia znak przy sprzężeniu. Jeśli masz \(\displaystyle{ z+1=x+iy+1}\) widzisz gdzie się zmieni znak?
Przy sprzężeniu będzie \(\displaystyle{ x-iy+1}\)

[kkate559]

rozwiazuje dalej:

\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} + z + \overline{z} +1 < 4 \cdot (\left| z\right| ^{2} - z - \overline{z} +1)}\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot \left| z\right| ^{2} -5 \cdot z -5 \cdot \overline{z} + 3> 0}\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot (x+iy)^{2} -5 \cdot (x+iy) -5 \cdot (x-iy) +3> 0}\)
\(\displaystyle{ 3x^{2} + 6xiy - 3y^{2} -10x +3 > 0}\)

i co dalej mam zrobic?

[mechatronik300]

3 linijka \(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} =\left( \sqrt{x ^{2}+(iy) ^{2} } \right) ^{2}}\)

[yorgin]

mechatronik300, definicja modułu jest trochę inna.

\(\displaystyle{ |z|^2=\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2=x^2+y^2}\)

[mechatronik300]

Tak masz rację jak najbardziej pomyłka z mojej strony.

[kkate559]

Ok. Rozwiązałam przykład do końca, wyszło mi jak w odpowiedziach. A teraz chciałam, żebyście zerknęli na taki przykład:

\(\displaystyle{ Z: \left| \frac{z-2i}{z+1} \right| <1}\)

\(\displaystyle{ \left| z-2i\right| < \left| z+1\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| z-2i\right| ^{2} < \left| z+1\right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (z - 2i)(\overline{z} - 2i) < (z+1)(\overline{z} +1)}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} - 2zi - 2\overline{z}i -4 < \left| z\right| ^{2} +z + \overline{z} +1}\)
\(\displaystyle{ -2 \cdot (x + iy) \cdot i -2 \cdot (x-iy) \cdot i-4<x +iy+x-iy +1}\)
\(\displaystyle{ -4xi -4 <2x +1}\)

co dalej?