Niech \(\displaystyle{ v= \frac{z}{iz+4}}\) , gdzie \(\displaystyle{ z \in \CC.}\) Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych \(\displaystyle{ z,}\) dla których liczba \(\displaystyle{ v}\) jest liczbą rzeczywistą.
Bardzo proszę o rozwiązanie tego zadania krok po kroku. Będę bardzo wdzięczna...
Naszkicować zbiór liczb zespolonych
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Naszkicować zbiór liczb zespolonych
Czyli tak naprawdę zdanie sprowadza się do problemu
\(\displaystyle{ \Im\frac{z}{iz+4}=0}\)
Standardowo: oznaczamy \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{z}{iz+4}=\frac{x+iy}{ix-y+4}=\frac{(x+iy)((-y+4)-ix)}{((-y+4)+ix)((-y+4)-ix)}=}\)
Wykonujemy działania
\(\displaystyle{ =\frac{x(-y+4)+yx+iy(-y+4)-ix^2}{(-y+4)^2+x^2}}\)
No i teraz przyrównujemy część urojoną do zera, czyli wystarczy wziąć część urojoną z licznika
\(\displaystyle{ y(-y+4)-x^2=0}\)
\(\displaystyle{ -y^2+4y-x^2=0}\)
\(\displaystyle{ y^2-4y+x^2=0}\)
\(\displaystyle{ (y-2)^2-4+x^2=0}\)
\(\displaystyle{ (y-2)^2+x^2=4}\)
No a co opisuje to równanie, to już chyba widać.
\(\displaystyle{ \Im\frac{z}{iz+4}=0}\)
Standardowo: oznaczamy \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{z}{iz+4}=\frac{x+iy}{ix-y+4}=\frac{(x+iy)((-y+4)-ix)}{((-y+4)+ix)((-y+4)-ix)}=}\)
Wykonujemy działania
\(\displaystyle{ =\frac{x(-y+4)+yx+iy(-y+4)-ix^2}{(-y+4)^2+x^2}}\)
No i teraz przyrównujemy część urojoną do zera, czyli wystarczy wziąć część urojoną z licznika
\(\displaystyle{ y(-y+4)-x^2=0}\)
\(\displaystyle{ -y^2+4y-x^2=0}\)
\(\displaystyle{ y^2-4y+x^2=0}\)
\(\displaystyle{ (y-2)^2-4+x^2=0}\)
\(\displaystyle{ (y-2)^2+x^2=4}\)
No a co opisuje to równanie, to już chyba widać.