Równości ze sprzężeniem funkcji trygonometrycznych

[Natasha]

Witam.
Mam wykazać, że \(\displaystyle{ \sin \overline{z}=\overline{\sin z}}\), podobnie dla cos, tg i ctg.
W odpowiedziach jest tylko:
\(\displaystyle{ \sin(x-iy)=\cosh y\cdot \sin x+i \sinh y\cdot \cos x= \overline{\sin(x+iy)}}\)
Skąd się bierze ten środkowy wzór? Bo wychodzi na to, że sinus liczby zespolonej z wynosi tyle samo, co sinus liczby sprzężonej.
Zaczęłam coś "tworzyć" z sinusem i cosinusem hiperbolicznym i doszłam do równości:
\(\displaystyle{ \cosh (-y)=\cosh (y)}\)
\(\displaystyle{ \sinh (-y)=-\sinh (y)}\).
Zapisałam tę równość tak:
\(\displaystyle{ \sin(x-iy)=\cosh (-y)\cdot \sin x-i \sinh (-y)\cdot \cos x= \cosh y\cdot \sin x+i \sinh y\cdot \cos x}\).
Czy można napisać od razu, że to jest równe \(\displaystyle{ \overline{\sin(x+iy)}}\)? Bo szczerze mówiąc nie wiem, jak rozpisać to dalej.

To samo z cosinusem:
\(\displaystyle{ \cos(x-iy)=\cosh (-y)\cdot \cos x+i \sinh (-y)\cdot \sin x= \cosh y\cdot \cos x-i \sinh y\cdot \sin x}\).

\(\displaystyle{ \overline{\tg z}=\overline{\left( \frac{\sin z}{\cos z} \right)}=\frac{\overline{\sin z}}{\overline {\cos z}} =\frac{\sin \overline{z}}{\cos \overline{z}}=\tg \overline{z}.}\)
Proszę o sprawdzenie.

[yorgin]

Straszny bałagan...

Korzystaj ze wzorów

\(\displaystyle{ \sin it=i\sinh t\\
\cos it=\cosh t}\)

I dostaniesz równość z odpowiedzi.

Przydadzą się własności sinusa i cosinusa hiperbolicznego, które wypisałaś.

[Natasha]

\(\displaystyle{ \sin \overline{z}=\sin(x-iy)=\sin x \cos(iy)+\sin(iy) \cos x= \sin x \cosh y+i \sinh y \cos x= \sin x \cosh(-y)-i\sinh(-y) \cos x=\overline{\sin(x+iy)}=\overline{\sin z}}\)

\(\displaystyle{ \cos \overline{z}=\cos(x-iy)=\cos x \cos(iy)-\sin(iy) \sin x= \cos x \cosh y-i \sinh y \sin x= \cos x \cosh(-y)+i\sinh(-y) \sin x=\overline{\cos(x+iy)}=\overline{\cos z}}\)

Teraz dobrze?
A to z tg może tak być jak napisałam wyżej?

Jeszcze jedno: wzór \(\displaystyle{ \sin (iy)=i\sinh y}\) powstaje ze wzoru \(\displaystyle{ \sin z=\sin x \cosh y+i\sinh y \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ x=0}\)?
Wiem, że jestem dociekliwa, ale nie chce się wkopać tym zadaniem

[yorgin]

Zaraz na początku korzystasz ze wzoru na różnicę sinusów i robisz to źle. O ile druga i trzecia równość są oczywiste, o tyle ostatnia zwieńczająca wzór jest magiczna.

Podobnie ma się rzecz z kosinusem.

A co do wzoru - wyprowadza się go na palcach ze wzoru na funkcje hiperboliczne oraz zespoloną definicję funkcji trygonometrycznych. To, co napisałaś, jest niejako wnioskiem z tych postaci.

[Natasha]

Jak to zrobić w takim razie? nie mam już pomysłu

[yorgin]

\(\displaystyle{ \sin(x+iy)=\sin x \cos iy +\sin iy \cos x= ?}\)

Dokończ przekształcenia.

[Natasha]

No to tak napisałam wyżej.
I dlaczego \(\displaystyle{ \sin(x+iy)}\), jak mam zrobić sprzężenie?

[yorgin]

Dlatego, że jak wyjdzie

\(\displaystyle{ \sin(x+iy)=\overline{\sin\overline{x+iy}}}\)

to pokażesz tezę. Ale możesz zacząć od sprzężenia. Niczego nie narzucam, tylko proponuję.

[Natasha]

A możesz powiedzieć, jak rozpisać \(\displaystyle{ \overline{\sin\overline{x+iy}}}\)?

[yorgin]

Eh..

\(\displaystyle{ \overline{\sin\overline{x+iy}}=\overline{\sin(x-iy)}=\overline{\sin x\cos iy-\cos x \sin iy}=\ldots}\)

Zaraz się okaże, że produkowaliśmy wzory z funkcjami hiperobolicznymi, które w ogóle są niepotrzebne.

[Natasha]

Chyba chcemy udowodnić coś innego
Mam pokazać, że \(\displaystyle{ \sin \overline{z}=\overline{\sin z}}\)
a nie \(\displaystyle{ \overline{\sin \overline{z}}=\sin z}\)...

\(\displaystyle{ \overline{\sin(x+iy)}=\overline{\sin x\cos iy+\cos x \sin iy}=\overline{\sin x\cos iy}+\overline{\cos x \sin iy}}\)...
Dalej nie wiem.

[yorgin]

Odpowiedz sobie, czym jest

\(\displaystyle{ \overline{\overline{z}}}\).

[Natasha]

\(\displaystyle{ z}\), no i jak to wykorzystać w moim zadaniu? ;D

[yorgin]

\(\displaystyle{ \sin \overline{z}=\overline{\sin z}}\)

więc jak weźmiesz sprzężenie obu stron, to dostaniesz?

[Natasha]

aha...

\(\displaystyle{ \overline{\sin\overline{x+iy}}=\overline{\sin(x-iy)}=\overline{\sin x\cos iy-\cos x \sin iy}=\overline{\sin x\cos iy}-\overline{\cos x \sin iy}=\sin x\cos iy+\cos x \sin iy=\sin(x+iy)=\sin z}\)

Teraz ok?