funkcje trygonometryczne - definicja

[Miroslav]

W przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) funkcje sinus i cosinus mamy zdefiniowane tak:
\(\displaystyle{ \sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)
\(\displaystyle{ \cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\)
Jak pokazać, że jeśli z jest rzeczywiste, to te definicje pokrywają się z funkcjami \(\displaystyle{ \sin{x}}\) i \(\displaystyle{ \cos{x}}\) ?

Wstawiam \(\displaystyle{ z=x+iy}\), \(\displaystyle{ y=0}\), czyli \(\displaystyle{ z=x}\) i co dalej? Bo jak to rozpisuję i staram się uprościć, to nic ciekawego mi z tego nie wychodzi. Np w przypadku sinusa mam
\(\displaystyle{ \sin{z}=\frac{1}{2i}(e^{ix}-1)=\frac{1}{2i}(\cos{x}+i\sin{x}-1)}\), a z tego jakoś szczególnie nie widzę, żeby to miało być równe \(\displaystyle{ \sin{x}}\).

[yorgin]

Masz dla \(\displaystyle{ z=x\in\RR}\)

\(\displaystyle{ e^{iz}=e^{ix}=\cos x+i\sin x}\)

Dalej już jest jasne, co robić.

[Miroslav]

No to akurat wiedziałem, i napisałem w swoim poście, że z tego skorzystałem już wiem gdzie miałem błąd, po prostu tam gdzie jest w wykładniku \(\displaystyle{ -ix}\) zamieniałem to na odwrotność, a trzeba po prostu wziąć \(\displaystyle{ -x}\) jako argument.