pierwiastek z liczby zespolonej

[diana93]

witam;) mam obliczyc \(\displaystyle{ \sqrt{i} =?

\sqrt{i} =i ^{ \frac{1}{2} } \left( \cos \frac{\pi}{4} +\sin \frac{\pi}{4} i \right)}\)
czy to będzie tak?

[chris_f]

Nie.
Zobacz na wzór na pierwiastek
\(\displaystyle{ \sqrtn{z}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right),\ k=0,1,...,n-1}\)
i zobacz co masz nie tak:
\(\displaystyle{ |z|=|i|=?}\), w miejsce \(\displaystyle{ k}\) wstawiasz \(\displaystyle{ 0\ {\rm i}\ 1}\).

[diana93]

pogubiłam się w latexu
W razie ponownego zagubienia zalecam skorzystać z mapy: latex.htm . Dasio11

\(\displaystyle{ \sqrt{i} = \\ \\
z = \sqrt[n]{|z|} \left( \cos \frac{\varphi+2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi+2k \pi}{n} \right) \qquad k=0, 1, \dotsc, n-1 \\ \\
z=\sqrt[2]{|i|} \left( \cos \frac{\varphi+2 \pi}{2} + i \sin \frac{\varphi+2 \pi}{2} \right) \\ \\
z=1 \left( \cos \left( \frac{\varphi}{2} + \pi \right) + i \sin \left( \frac{\varphi}{2} + \pi \right) \right)}\)