Geometryczna interpretacja zbiorów liczb zespolonych

[Blask92]

Proszę o pomoc w tych dwóch przykładach:

Podać interpretację geometryczną nastepujących zbiorów liczb zespolonych:

\(\displaystyle{ a)}\) \(\displaystyle{ \left\{ z: \left| z-a\right| = \left| z-b \right| \right\}}\) , \(\displaystyle{ a \neq b}\)

skorzystać z \(\displaystyle{ z = x+iy}\)

\(\displaystyle{ b)}\) \(\displaystyle{ \left\{ z: \left| z+c\right| + \left| z-c\right| \le 2\right\}}\), \(\displaystyle{ a>0, \left| c\right| < a}\)

[Dasio11]

Liczba \(\displaystyle{ |z-a|}\) to odległość punktów płaszczyzny odpowiadających liczbom zespolonym \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ a.}\) Potrafisz napisać słownie, co mówią warunki

\(\displaystyle{ |z-a| = |z-b|}\)

oraz

\(\displaystyle{ |z+c| + |z-c| \le 2}\) ?

[Blask92]

No właśnie nie bardzo wiem jak. I dlatego prosiłabym o pomoc chociaż w tym podpunkcie \(\displaystyle{ a)}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ |z-a| = |z-b|}\) to słownie: "odległość punktu \(\displaystyle{ z}\) do punktu \(\displaystyle{ a}\) jest taka sama, jak odległość punktu \(\displaystyle{ z}\) do punktu \(\displaystyle{ b.}\)" Jakie punkty \(\displaystyle{ z}\) mają tę własność?

[Blask92]

No hmm.. jakieś symetryczne? Próbowałam zrobić to przez podstawienie \(\displaystyle{ z= ax+b}\) ale wychodziło mi że \(\displaystyle{ a=b}\) , więc źle

[Dasio11]

Zgadza się, symetryczne. Ale dokładniej to jakie?
Podstawienie \(\displaystyle{ z=ax+b}\) (lub każde inne) to podejście od strony algebraicznej. Intencją jest, żeby na chwilę zapomnieć, że mowa o liczba zespolonych, i myśleć o \(\displaystyle{ a, b, z}\) jak o punktach płaszczyzny. Dlatego postaraj się korzystać z tej charakteryzacji:

odległość punktu \(\displaystyle{ z}\) do punktu \(\displaystyle{ a}\) jest taka sama, jak odległość punktu \(\displaystyle{ z}\) do punktu \(\displaystyle{ b}\)

zamiast pracować nad tym algebraicznie. Trzeba znaleźć wszystkie \(\displaystyle{ z}\) o podanej własności. Zrobienie rysunku może ułatwić myślenie o tym.
Edit: no dobrze: w zadaniu, jest mowa, żeby skorzystać z \(\displaystyle{ z=x+yi.}\) Jeśli wolisz, to rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ |z-a|=|z-b|}\)

przy pomocy tego podstawienia. Wtedy przy opisywaniu interpretacji geometrycznej będzie można podeprzeć się wynikiem.