Mam problem z zadaniem i nie wiem czy po drodze popełniam błąd. Całość wymaga udowodnienia równości
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \sin \left( kx \right) = \frac{ \left( \sin \left( \frac { \left( n+1 \right) x}{2} \right) \sin \left( \frac {nx}{2} \right) \right) }{\sin \left( x/2 \right) }}\)
Za pomocą tożsamości:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} z = \frac {1-z^{n+1}}{1-z}}\)
Po wyznaczeniu części urojonej tożsamości, która da nam:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \sin \left( kx \right) = \Im \left( \frac{1-z^{n+1}} {1-z} \right)}\)
Po wyznaczeniu części urojonej prawej strony i kilku przekształceniach dostaję
\(\displaystyle{ \Im \frac {(1-z^{n+1})(1- \bar {z})}{|1-z|^2}= \Im \frac{1- \bar{z}-z^{n+1}+z^{n+1}\bar{z}}{|1-z|^2}=\frac{-\sin (-x)-\sin [(n+1)x]+\sin (nx)}{2(1-\cos x)}=\frac{\sin x-\sin [(n+1)x]+\sin (nx)}{4\sin ^2(x/2)}}\)
Dalej nie mam pojęcia jak przekształcić licznik, gdyby ktoś mógł prześledzić przekształcenia i dać jakąś wskazówkę to byłbym wdzięczny.
