Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Cześć.
Mam problem z taką liczbą zespoloną:
\(\displaystyle{ \arg \frac{1}{1+z} = \frac{3}{4} \pi}\)
Narysować ją dam radę, ale problem mam z tym argumentem. Nie mogę się pozbyć po podstawieniu \(\displaystyle{ z = x + iy}\) tego \(\displaystyle{ i}\) z mianownika... Mógłby ktoś mnie naprowadzić?
Z góry dzięki.
Mam problem z taką liczbą zespoloną:
\(\displaystyle{ \arg \frac{1}{1+z} = \frac{3}{4} \pi}\)
Narysować ją dam radę, ale problem mam z tym argumentem. Nie mogę się pozbyć po podstawieniu \(\displaystyle{ z = x + iy}\) tego \(\displaystyle{ i}\) z mianownika... Mógłby ktoś mnie naprowadzić?
Z góry dzięki.
Ostatnio zmieniony 23 lut 2013, o 11:51 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wystarczy jedna para klamer[latex] na całe wyrażenie.
Powód: Wystarczy jedna para klamer
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \frac1{1+z}=t(-1+i)}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\). Pomnóż tę równość stronami przez \(\displaystyle{ \frac1{2t}(1+z)(-1-i)}\).
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{-1-i}{2t}}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ 1 + z}\)
Mam to podstawić do tego wyjściowego równania?
\(\displaystyle{ \frac{-1-i}{2t}}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ 1 + z}\)
Mam to podstawić do tego wyjściowego równania?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Jeśli teraz sobie \(\displaystyle{ \frac1{2t}}\) nazwiemy \(\displaystyle{ s}\), to mamy \(\displaystyle{ z=-s-1-si}\) dla \(\displaystyle{ s>0}\).
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Jak podstawiłam ten wynik za \(\displaystyle{ z}\), mam, że:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2s} + i \frac{1}{2s}}\).
To teraz mam podstawić za \(\displaystyle{ s}\) to wyrażenie z \(\displaystyle{ t}\)?
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2s} + i \frac{1}{2s}}\).
To teraz mam podstawić za \(\displaystyle{ s}\) to wyrażenie z \(\displaystyle{ t}\)?
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Skąd założenia, że \(\displaystyle{ s, t > 0}\) ? Z czego to należy wywnioskować?
Btw, mogę zapytać, skąd w ogóle taki sposób na rozwiązanie tego zadania? Liczyłam sporo liczb zespolonych, ale z takim sposobem zetknęłam się dopiero dzisiaj na tym forum.
Btw, mogę zapytać, skąd w ogóle taki sposób na rozwiązanie tego zadania? Liczyłam sporo liczb zespolonych, ale z takim sposobem zetknęłam się dopiero dzisiaj na tym forum.
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \tg \frac{3}{4} \pi = \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ - \tg \frac{1}{4} \pi = \frac{y}{x} = - 1}\)
Hm... Nie jestem pewna czy dobrze kombinuję. Na rysunku byłaby to po prostu półprosta, jeśli uwzględnimy, że ten kąt znajduje się w drugiej ćwiartce?
\(\displaystyle{ - \tg \frac{1}{4} \pi = \frac{y}{x} = - 1}\)
Hm... Nie jestem pewna czy dobrze kombinuję. Na rysunku byłaby to po prostu półprosta, jeśli uwzględnimy, że ten kąt znajduje się w drugiej ćwiartce?
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Chodzi o to, że te liczby są w postaci punktów należących do tej półprostej?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Zgodzisz się, że wszystkie takie liczby mają część rzeczywistą mniejszą od zera. Z równości \(\displaystyle{ \frac yx=-1}\) wynika, że \(\displaystyle{ y=-x}\). Zatem liczby te są postaci \(\displaystyle{ x-xi}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\). I w drugą stronę, każda taka liczba leży na owej półprostej.
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Aaa, no jasne.
Zatem w tym równaniu wynika z tego, że: \(\displaystyle{ - \frac{1}{2s} + i \frac{1}{2s}}\) -> \(\displaystyle{ \Re z < 0}\), a \(\displaystyle{ \Im z > 0}\). Dobra, ostatnie już pytanie i nie męczę więcej. Jak to rozwiązanie mam zatem przedstawić w układzie współrzędnych skoro \(\displaystyle{ s}\) jest parametrem? Dla \(\displaystyle{ \arg z}\) trudno nie było, a w tym przypadku?
Zatem w tym równaniu wynika z tego, że: \(\displaystyle{ - \frac{1}{2s} + i \frac{1}{2s}}\) -> \(\displaystyle{ \Re z < 0}\), a \(\displaystyle{ \Im z > 0}\). Dobra, ostatnie już pytanie i nie męczę więcej. Jak to rozwiązanie mam zatem przedstawić w układzie współrzędnych skoro \(\displaystyle{ s}\) jest parametrem? Dla \(\displaystyle{ \arg z}\) trudno nie było, a w tym przypadku?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Jako półprostą o początku w punkcie \(\displaystyle{ (-1,0)}\), idącą w lewy dolny róg kartki (równolegle do wektora \(\displaystyle{ [-1,-1]}\)).
- Assassin-Girl
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 18:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Maczu-Pikczu
- Podziękował: 33 razy