Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

[Assassin-Girl]

Cześć.

Mam problem z taką liczbą zespoloną:

\(\displaystyle{ \arg \frac{1}{1+z} = \frac{3}{4} \pi}\)

Narysować ją dam radę, ale problem mam z tym argumentem. Nie mogę się pozbyć po podstawieniu \(\displaystyle{ z = x + iy}\) tego \(\displaystyle{ i}\) z mianownika... Mógłby ktoś mnie naprowadzić?

Z góry dzięki.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \frac1{1+z}=t(-1+i)}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\). Pomnóż tę równość stronami przez \(\displaystyle{ \frac1{2t}(1+z)(-1-i)}\).

[Assassin-Girl]

Wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{-1-i}{2t}}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ 1 + z}\)

Mam to podstawić do tego wyjściowego równania?

[norwimaj]

Jeśli teraz sobie \(\displaystyle{ \frac1{2t}}\) nazwiemy \(\displaystyle{ s}\), to mamy \(\displaystyle{ z=-s-1-si}\) dla \(\displaystyle{ s>0}\).

[Assassin-Girl]

Jak podstawiłam ten wynik za \(\displaystyle{ z}\), mam, że:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2s} + i \frac{1}{2s}}\).

To teraz mam podstawić za \(\displaystyle{ s}\) to wyrażenie z \(\displaystyle{ t}\)?

[norwimaj]

Nie trzeba. Wszystko się zgadza.

[Assassin-Girl]

Skąd założenia, że \(\displaystyle{ s, t > 0}\) ? Z czego to należy wywnioskować?

Btw, mogę zapytać, skąd w ogóle taki sposób na rozwiązanie tego zadania? Liczyłam sporo liczb zespolonych, ale z takim sposobem zetknęłam się dopiero dzisiaj na tym forum.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \mathrm{arg}\;z=\frac34\pi}\)

Jakbyś to rozwiązała?

[Assassin-Girl]

\(\displaystyle{ \tg \frac{3}{4} \pi = \frac{y}{x}}\)

\(\displaystyle{ - \tg \frac{1}{4} \pi = \frac{y}{x} = - 1}\)

Hm... Nie jestem pewna czy dobrze kombinuję. Na rysunku byłaby to po prostu półprosta, jeśli uwzględnimy, że ten kąt znajduje się w drugiej ćwiartce?

[norwimaj]

Zgadza się. Czyli jakiej postaci są te liczby?

[Assassin-Girl]

Chodzi o to, że te liczby są w postaci punktów należących do tej półprostej?

[norwimaj]

Zgodzisz się, że wszystkie takie liczby mają część rzeczywistą mniejszą od zera. Z równości \(\displaystyle{ \frac yx=-1}\) wynika, że \(\displaystyle{ y=-x}\). Zatem liczby te są postaci \(\displaystyle{ x-xi}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\). I w drugą stronę, każda taka liczba leży na owej półprostej.

[Assassin-Girl]

Aaa, no jasne.

Zatem w tym równaniu wynika z tego, że: \(\displaystyle{ - \frac{1}{2s} + i \frac{1}{2s}}\) -> \(\displaystyle{ \Re z < 0}\), a \(\displaystyle{ \Im z > 0}\). Dobra, ostatnie już pytanie i nie męczę więcej. Jak to rozwiązanie mam zatem przedstawić w układzie współrzędnych skoro \(\displaystyle{ s}\) jest parametrem? Dla \(\displaystyle{ \arg z}\) trudno nie było, a w tym przypadku?

[norwimaj]

Jako półprostą o początku w punkcie \(\displaystyle{ (-1,0)}\), idącą w lewy dolny róg kartki (równolegle do wektora \(\displaystyle{ [-1,-1]}\)).

[Assassin-Girl]

Dzięki wielkie za pomoc.

Pozdrawiam.