część Re i Im funkcji f(z)=ln(z)

[Alakhil]

witam,
czy ktoś mógłby mi pomóc chociaż jakąś wskazówką?
Wyznacz część rzeczywistą i urojoną funkcji \(\displaystyle{ f \left( z \right) =\ln \left( z \right)}\), \(\displaystyle{ z \in C}\)
pozdrawiam

[mechatronik300]

Musisz znaleźć definicję logarytmu zespolonego. Dostaniesz wzór z którego już powinieneś wyznaczyć wszystko.

Znalazłem tą definicję.
\(\displaystyle{ \ln(z)=\ln\left| z\right|+ i \arg z}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|}\) jest liczbą rzeczywistą więc i logarytm z tej liczby jest rzeczywisty a część urojona to \(\displaystyle{ \arg z}\) ale to też można rozpisać na \(\displaystyle{ \alpha +2k \pi}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \alpha}\) to argument główny

[yorgin]

\(\displaystyle{ \ln z=\ln |z|e^{i\phi}=\ln|z|+\ln e^{i\phi}=\ln|z|+i\phi}\)

gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) jest argumentem (głównym) \(\displaystyle{ z}\).

Stąd

\(\displaystyle{ \Re (f(z))=\ln|z|, \Im (f(z))=Arg(z)}\)

[Alakhil]

dziękuję za pomoc:)