Rozwiązać równanie.
\(\displaystyle{ \left( 1+ \sqrt{3}i\right) z^3 = -2 \overline{z}}\)
kompletnie nie wiem jak sie za to zabrać. Podstawianie mi nic nie da. Na zajęciach robiliśmy to jakoś z przyrównywaniem argumentów, ale nie mam pojęcia jak to zrobić.
Równanie zespolone ze sprzężeniem
-
ivonek
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 12 paź 2010, o 17:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: łódź
- Podziękował: 1 raz
Równanie zespolone ze sprzężeniem
Ostatnio zmieniony 14 lut 2013, o 10:38 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Równanie zespolone ze sprzężeniem
\(\displaystyle{ \blue{ \left( 1+ \sqrt{3}i\right) z^3 = -2 \overline{z}}}\)
\(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}i=2\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=2\left(\cos\frac\pi3+i\,\sin\frac\pi3\right)=2e^{i\frac\pi3}}\)
\(\displaystyle{ \blue{\ z=\left|z\right|e^{i\varphi}\ }\ \ \green{ \Rightarrow }\ \ \overline{z}=|z|e^{-i\varphi}\ \ \ \ \ z^3=|z|^3e^{i\cdot3\varphi}}\)
\(\displaystyle{ 2e^{i\frac{\pi}{3}}\cdot |z|^3e^{i\cdot3\varphi}=|z|e^{-i\varphi}\ \ \Bigg| \cdot\frac{1}{2}e^{-i\cdot\frac{\pi}{3}}\cdot\frac{e^{i\varphi}}{|z|}\ \green{\Rightarrow}\ \ |z|^2e^{i\cdot 4\varphi}=\frac12e^{-i\cdot\frac{\pi}{3}}\ \ \green{\Rightarrow}}\)
\(\displaystyle{ \ \ \green{ \Rightarrow}\ \ \begin{cases} |z|^2=\frac12\ \ \ \to\ \ \ \blue{ |z|=\frac{\sqrt2}{2}\\ 4\varphi=-\frac\pi3+2k\pi\ \ \ \ k\in\{0,1,2,3\}}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \magenta{ z_{k+1}=\frac{\sqrt2}{2}\left( \cos\frac{-\frac\pi3+2k\pi}{4}+i\,\sin\frac{-\frac\pi3+2k\pi}{4}\right) \ \ \ \ k\in\{0,1,2,3\}}}\)
\(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}i=2\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=2\left(\cos\frac\pi3+i\,\sin\frac\pi3\right)=2e^{i\frac\pi3}}\)
\(\displaystyle{ \blue{\ z=\left|z\right|e^{i\varphi}\ }\ \ \green{ \Rightarrow }\ \ \overline{z}=|z|e^{-i\varphi}\ \ \ \ \ z^3=|z|^3e^{i\cdot3\varphi}}\)
\(\displaystyle{ 2e^{i\frac{\pi}{3}}\cdot |z|^3e^{i\cdot3\varphi}=|z|e^{-i\varphi}\ \ \Bigg| \cdot\frac{1}{2}e^{-i\cdot\frac{\pi}{3}}\cdot\frac{e^{i\varphi}}{|z|}\ \green{\Rightarrow}\ \ |z|^2e^{i\cdot 4\varphi}=\frac12e^{-i\cdot\frac{\pi}{3}}\ \ \green{\Rightarrow}}\)
\(\displaystyle{ \ \ \green{ \Rightarrow}\ \ \begin{cases} |z|^2=\frac12\ \ \ \to\ \ \ \blue{ |z|=\frac{\sqrt2}{2}\\ 4\varphi=-\frac\pi3+2k\pi\ \ \ \ k\in\{0,1,2,3\}}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \magenta{ z_{k+1}=\frac{\sqrt2}{2}\left( \cos\frac{-\frac\pi3+2k\pi}{4}+i\,\sin\frac{-\frac\pi3+2k\pi}{4}\right) \ \ \ \ k\in\{0,1,2,3\}}}\)